@JX
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ok. JX = union(X^n, n >= 0)/(?,?,...,x,...,?) ~ (?,?,...,....,?) (d.h. der Basispunkt kann beliebig weggelassen werden).
Als H-Raum-Multiplikation nehme ich Juxtaposition und die ist auch mit ~ verträgtlich und stetig. Problem: Ich sehe nicht, warum das _stetig_ über den Quotientenraum faktorisieren sollte
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kein Troll! schrieb:
Als H-Raum-Multiplikation nehme ich Juxtaposition
Was ist ein H-Raum und was ist Juxtaposition?
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H-Raum: topol. Raum mit Basispunkt x, und stetiger Abb. (Multiplikation) m: X x X --> X, sodass m(-,x) und m(x,-) homotop rel x zur Identität sind.
Juxtaposition: zwei Tupel nebeneinander setzen
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Okay, jetzt verstehe ich zumindest grob die Situation. Ich denke mal drüber nach, vielleicht fällt mir was ein. Ganz grob sagt mir mein Gefühl, daß das stetige Faktorisieren wohl daher kommt, daß die Relation eben von der Abbildung respektiert wird. Kann es sein, daß man das ziemlich allgemein zeigen kann und die spezielle Situation hier nur eine untergeordnete Rolle spielt?
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Allgemein könnte man es zeigen, wenn man eine Quotientenraumprojektion hätte, z.B. wenn die Quelle quasikompakt (was hier für X nicht leer nie der Fall ist!) und der Quotientenraum hausdorffsch wäre. Allgemein geht das aber nicht
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Allgemein für topologische Räume und stetige Abbildung
f:X--->Y ist doch f~ : X/~f ---> f(X) stetig (so ist die Topologie gerade gemacht). Daß das auch für Abbildungen gilt, die ~f nur respektieren müßte man sich überlegen. Mit Deinen Voraussezzungen würde f~ sogar zum Homöomorphismus. Das brauchst Du doch hier aber garnicht, oder?
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Jester schrieb:
1. Allgemein für topologische Räume und stetige Abbildung
f:X--->Y ist doch f~ : X/~f ---> f(X) stetig (so ist die Topologie gerade gemacht).
2. Daß das auch für Abbildungen gilt, die ~f nur respektieren müßte man sich überlegen.
3. Mit Deinen Voraussezzungen würde f~ sogar zum Homöomorphismus.
4. Das brauchst Du doch hier aber garnicht, oder?1. ja
2. Das Problem ist, dass Quotienten- und Produkttopologie nicht kommutieren: X x Y / (R x S) --> X/R x Y/S ist stetig und bijektiv, aber iA kein Homöomorphismus
3. Hm? Warum das?
4. Nein.
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kein Troll! schrieb:
3. Hm? Warum das?
Der Quotient eines quasikompakten Raums ist quasikompakt (ist Bild der natürlichen Projektion, die ja stetig ist). Das Bild von X ist als Teilraum eines Hausdorffraums wieder hausdorfsch und quasikompakt, da stetiges Bild einer quasikompakten Abbildung.
f~ ist schon bijektiv und stetig. Ist jetzt A eine abgeschlossene Menge in X/~ (die ist dann wieder kompakt), so ist f~(A) ebenfalls kompakt und, da f(X) hausdorffsch ist auch wieder abgeschlossen. Also f~(A) abgeschlossen. Also f~ homöomorphismus.
Aber ich sehe nicht, wo Du wirklich Homöomorphie brauchst, ich denke, Du willst nur stetig haben?
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Ja, ich will nur stetig.
Das was du schreibst ist ja ok, hat aber mit meinem m nichts zu tun. Es geht um die Stetigkeit des von union(X^n,n>=0) x union(...) ---> union(...) induzierten JX x JX ---> JX