Produktregel

[Gizm]

Matzer schrieb:

Hi,
ich weiß ja nicht, ob ihr auch die Produktregel im Falle dreier Faktoren besprochen habt, aber du könntest ja zuerst zwei der Klammern ausmultiplizieren, also
f(x) = (x-3)^3
f(x) = (x^2-6x+9)(x-3)
f'(x) = (2x-6)(x-3)+(x^2-6x+9)1
f'(x) = 2x^2-12x+18+x2-6x+9
f'(x) = 3x^2-18x+27
f'(x) = 3(x-3)^2

Danke schonmal für die ganzen Antworten....
Also so wie Zitiert hab ichs am besten verstande, da mein Ansatz ähnlich aussah. Da ich mich aber noch nicht so gut mit der Produktregel auskenne, dachte ich es wäre falsch...

Das prinzip hab ich jetzt auch verstanden.

P.S. Ne, wir haben die Produktregel noch nicht "im Falle dreier Faktoren" besprochen.

[PeterTheMaster]

*Xul zustimm*
sowas ist kein wunder, zum glueck wissen die schulkinder nicht, wies auf der uni zugeht, sonst haette keiner mehr respekt vor lehrern. in der regel ist es so, dass diejenigen, die zu dumm sind, ein fach zu studieren, es eben auf lehramt studieren. loeblische ausnahmen gibt es natuerlich.

unabhaengig davon sollte die produktregel mit mehreren faktoren aber keine probleme machen, die kettenregel sagt uns

\frac{d}{dt}f(t,t,t...)=\frac{d}{dt}(f\circ (t\mapsto \begin{pmatrix} t \\ \vdots \\ t% \end{pmatrix}% ))=% \begin{pmatrix} \partial _{1}f(...) & \partial _{2}f(...) & ...% \end{pmatrix}% \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1% \end{pmatrix}% =\sum \partial _{i}f(t,t,...)

edit: latex schonwieder total kaputt. doofes programm. muss man sich wohl den quelltext kopieren.

[Jester]

Xul schrieb:

Mit solchen Aufgaben lernt doch kein Schüler die Produktregel vernünftig einzusetzen.

Ich finde die Aufgabe sehr lehrreich. Wenn man's ordentlich macht sieht man, wie man Aussagen, die man für 2 Faktoren kennt, hochziehen kann auf 3 Faktoren (und damit dann auch auf beliebig viele). Genau sowas wird auch an Unis oft auf Übungsblättern verlangt. Vielleicht nicht genau in dieser Form, aber es gibt ja auch noch ein paar wichtige Unterschiede zwischen Uni und Schule.

[Xul]

Gerade beim Differenzieren gibt es meist mehrere Möglichkeiten, zum Ziel zu gelangen. Der Schüler muss also erkennen, welcher Weg der günstigste ist. Lässt man den Schüler solche Aufgaben rechnen, so bekommt er ein völlig falsches Verständnis der Produktregel. Kommen in Kontrollen dann Polynome 4. oder noch höheren Grades dran, erinnnert sich der Schüler womöglich an diesen Lösungsweg und versuchts wieder.. und wird kläglich scheitern. Ich hatte in meinem Mathe-LK ein paar Leute die haben bei Nullstellenberechnungen der Form (x-a)(x-b)=0 grundsätzlich alles ausgeklammert, weil sie es irgendwann mal so gelernt hatten.

Ich kann mir schon vorstellen, dass es im Studium solche Aufgaben gibt, aber im Studium kann man auch davon ausgehen, dass die Studenten im Differenzieren sattelfest sind.

mfg
Xul

[Jan]

Hauptsache, ihr könnt alles besser...

Wo soll denn das Problem dabei sein, wenn Schüler mal verschiedene Lösungswege bei der gleichen Aufgabe versuchen und dann für sich selbst feststellen, was sie am besten finden??
Ich kenn z.B. Studenten, die unheimlich scharf auf die Quotientenregel sind, weil sie sich die verdammte Formel merken können. Ich benutz lieber die Produktregel, da kann ich nichts verkehrt machen.

[asmodis]

Jan schrieb:

Ich kenn z.B. Studenten, die unheimlich scharf auf die Quotientenregel sind, weil sie sich die verdammte Formel merken können. Ich benutz lieber die Produktregel, da kann ich nichts verkehrt machen.

und wie leitest du dann quotienten $\frac{f(x)}{g(x)}$ ab?

[Daniel E.]

1/g := h, also h'=-g'/g^2

(f/g)'=(f*h)'=f'h+h'*f=f'(x)/g(x) - g'*f/g^2=1/g2(f'*g-g'*f)

?

[Xul]

Wo soll denn das Problem dabei sein, wenn Schüler mal verschiedene Lösungswege bei der gleichen Aufgabe versuchen und dann für sich selbst feststellen, was sie am besten finden??

Aber gerade das ist doch bei dieser Aufgabe nicht gegeben. Man soll stur mit der Produktregel differenzieren, ohne mögliche günstigere Wege zu finden.

[asmodis]

Daniel E. schrieb:

1/g := h, also h'=-g'/g^2

(f/g)'=(f*h)'=f'h+h'*f=f'(x)/g(x) - g'*f/g^2=1/g2(f'*g-g'*f)

?

(1/g)' = g'/g^2 und das merkt man sich dann?
[edit]
ja ich weiß, kann man mit Kettenregel ausrechnen
[/edit]

Ich wollte eigentlich darauf raus, dass man um die Quotientenformel nicht wirklich herumkommt. So leitest du die Q-Formel ja auch wieder her.

[wolfgke]

(f*1/f)'=0

da
(1)'=0

=> f'(1/f)+f(1/f)'=0
=> (1/f)'=-f'/f^2

Nur Produktregel, keine Quotientenregel.

[Jan]

asmodis schrieb:

und wie leitest du dann quotienten $\frac{f(x)}{g(x)}$ ab?

Wie schon gesagt: über die Produktregel.
f/g = f * g^-1
Wo ist da das Problem? Das ist leichter, als jedes mal zu überlegen, ob es uv'-u'v oder u'v - uv' war.

[asmodis]

ok, ihr leitet euch die Q-regel jedes mal wieder her.
darauf wollt ich eigentlich auch raus. ihr arbeitet nicht ohne Q-regel.

btw: ich merk mir die Q-regel auch nicht, sondern überleg sie mir immer wieder kurz (auf die art wie ihr oben), werde sie aber dann verwenden um eine konkrete Funktion abzuleiten.

[wolfgke]

Nö, *ich* kann sie im Kopf. Aber es ist meines Erachtens wichtiger zu wissen, *warum* etwas gilt, als die konkrete Formel im Kopf zu haben.

[asmodis]

kann ich nur zustimmen. aber wenn man was weiß, sollte man es auch verwenden.

[Daniel E.]

Warum? Ist doch Geschmackssache, genau, wie die Frage, ob man quadratische Gleichungen durch Ergänzung oder durch Lösungsformel löst. Die beiden Verfahren sind zwar gleichwertig, aber -- um die Analogie mal weiter zu benutzen -- Du wirfst den quadratischen Ergänzern vor, sie würden die Lösungsformel jedes mal herleiten. Ich kann das nicht ganz nachvollziehen.

[asmodis]

Mir ist eigentlich ziemlich egal wie Leute ihre Aufgaben lösen. Ich fands nur komisch, dass man sich weigert (so hab ich das zumindest verstanden) ergebnisse anzunehmen und anzuwenden.

[PeterTheMaster]

wenn man sich weigert, etwas zu tun, was nicht noetig ist, dann optimiert man.

[Jester]

PeterTheMaster schrieb:

wenn man sich weigert, etwas zu tun, was nicht noetig ist, dann optimiert man.

So ein Unsinn. Damit sagst Du ja, daß man garkeine mathematischen Sätze benutzen sollte. Es folgt schließlich schon alles aus den Axiomen. Allerdings halte ich es nicht für besonders "optimiert" jedesmal wieder dort anzufangen.

[PeterTheMaster]

wieso sag ich das? du magst saetze fuer nicht noetig halten, ich nicht.

[Jester]

Was bedeutet denn für Dich nötig? Nötig heißt doch: ohne geht's nicht. Da in der Mathematik alles bereits aus den Axiomen folgt sind Sätze streng genommen nicht nötig. Also wäre es doch "optimiert" diese nicht zu benutzen? Btw. könnte man die Quotientenregel ja auch ein Sätzchen nennen. Warum soll es da nun plötzlich optimiert sein es nicht zu benutzen???