Integral und Flächenberechnung, anscheinend falsch verstanden

Bisher hab ich eigentlich angenommen, dass das bestimmte Integral selbst bereits die Fläche unterhalb eines Graphen liefert, allerdings bin ich dann auf das Beispiel der Berechnung der Kreisfläche gestossen und schlussfolgerte, dass es eigentlich $4*\int\limits_0^\frac{\pi}{2}sin(x)dx$ sein müsste, allerdings ergibt das 4, was es definitiv nicht sein kann.

Was habe ich also falsch verstanden, bzw. wo finde ich eine Erklärung für Flächenberechnung mit dem Integral?

lustig

Du hast ja auch nicht die Fläche eines Kreises berechnet, sondern 4 mal die Fläche unter der Sinuskurve zwischen 0 und pi/2.
Das ist aber nicht das gleiche (zeichne beide Dinge mal genau auf, z.B. schneidet sin(x) die x-Achse mit Steigung 1 )
Wenn du die Kreisformel nimmst und integrierst, sollte es funktionieren:

$y=\sqrt{r^2-x^2}$

PeterTheMaster

oder in polarkoordinaten:
$\int_{B(0,R)}dxdy=\int_{r=0}^{R}\int_{\phi=0}^{2\pi}rdrd\phi$

Wenn du die Kreisformel nimmst und integrierst, sollte es funktionieren:

Hab da leider noch so meine Probleme mit dem Integrieren davon. Hab zuerst versucht partiell zu integrieren und dann zu substituieren, komm allerdings auf kein ansehnliches Ergebniss, bzw. Mathematica liefert etwas anders.

Kann man mit der Kreisformel überhaupt die Flächenformel r²π nachweisen?

Jester

Ja, kann man. Versuch mal die Substitution x = r*sin(u) zusammen mit 1-sin^2(u) = cos^2(u). Danach noch partiell integrieren.

Tut mir leid, dass ich schon wieder frage aber ich hab bereits Probleme beim Substituieren, ich weiß jetzt nämlich nicht ob du mit Substituieren herkömmliches Ersetzen meinst, oder wirklich Substituieren als Integrationsmethode.

Also entweder:
$\int\sqrt{r^2-(r * sin(u)^2}dx$ ??
$\int\sqrt{r^2 * (1-sin(u)^2)}dx$ ??
$\int\sqrt{r^2 * cos(u)^2}dx$ ??
$r * \int\cos(u)dx$ ??
kann ja eigentlich nicht richtig sein ..

oder:
$r*sin(u)=x$
$sin(u)=\frac{x}{r}$
$u=arcsin(\frac{x}{r})$
$u'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x}{r}^2}}$
usw..

Auf jeden Fall weiß ich nicht, wie sich x da weg kürzen soll ..

Jester

Ich meine schon richtige Substitution, das was bei Integralen halt erlaut ist.
Dein erster Fall ist vom Prinzip her auch nicht schlecht, nur mußt Du natürlich auch noch nachdifferenzieren: dx/du = r*cos(u) => dx = r*cos(u) du
Denk auch dran, daß Du die Integrationsgrenzen verändern mußt.

Hallo nochmal,

die Stammfunktion konnte ich mitterweile ermitteln, allerdings hab ich noch so meine Probleme mit dem Verändern der Integrationsgrenzen.

$x=r*sin(t)$
$t=arcsin(\frac{x}{r})$

Eigentlich müssten sich die Integrationsgrenzen [0,1] in [0,pi/2] ändern um das Richtige Ergebniss zu bekommen, also arcsin(x). Was habe ich falsch gemacht?

Jester

Du mußt von 0 bis r integrieren, nicht von 0 bis 1. Oder Du rechnest es im speziellen Fall r=1 und erledigst den Rest mit dem Argument, daß es nur skaliert ist.

net 0

hier habt ihr ein pdf zu dem thema (ab der zweiten seite)
http://www.delta.uni-dortmund.de/scripts/Physik_A1_WS01/A1_Z_04X.pdf

Du mußt von 0 bis r integrieren ...

Was für ein dämlicher Fehler von mir, danke!