Transformation von Koordinatensystemen

Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage zu der Transformation von Koordinatensystemen:
fang auch gleich mit der Aufgabenstellung an

Es sind drei Koordinatensysteme gegeben A, B und C

der Ursprung sind diese Punkte:
Au (0,0,0,1)
Bu (5,6,0,1)
Cu (5,-2,2,1)

aufgespannt werden die System durch folgende Vektoren:

Ax = (1, 0, 0)
Ay = (0, 1, 0)
Az = (0, 0, 1)

Bx = ( 1/ Wurzel(2), 1 / Wurzel(2), 0 )
By = ( -1/ Wurzel(2), 1 / Wurzel(2), 0 )
Bz = ( 0, 0, 1 )

Cx = ( 1/Wurzel(3), 1/Wurzel(3), 1/Wurzel(3) )
Cy = (-1/Wurzel(3), 1/Wurzel(3),-1/Wurzel(3) )
Cz = (-1/Wurzel(2), 0 , 1/Wurzel(2) )

Meine Frage lautet wie kann ich Punkte von einem Koordinatensystem in ein anderes Koordinatensystemen umrechnen!

Und die viel wichtigere Fragen:
Ist die Transformationsmatrix von B nach A gleich der inversen Matrix von A nach B???

Falls nicht Warum ist das dann so?

hoffe jemand kann mir helfen vor

lg
Suzi

hellihjb

A ist das karthesische koordinatensystem.
von A nach B (bzw C) kommst du mit einer matrix aus den jeweiligen basisvektoren.
wieder zurueck kommst du durch die inverse matrix.

Christoph

Du kannst mit einer üblichen Transformationsmatrix keine Verschiebung ausdrücken, da eine Matrix immer eine lineare Abbildung beschreibt.
Das heißt, der Punkt (0, 0, 0) muss in jedem deiner Koordinatensystem (0, 0, 0) sein, sonst gibt es keine Transformationsmatrix (jedenfalls keine "übliche").

Wie komme ich dann in meinem Fall von C nach B bzw. von C nach A?
Einfach nur immer die jeweiligen Basisvektoren verwenden?

Christoph

suzanne schrieb:

Wie komme ich dann in meinem Fall von C nach B bzw. von C nach A?
Einfach nur immer die jeweiligen Basisvektoren verwenden?

Mit einer Transformationsmatrix nicht, weil eine Verschiebung nicht linear ist.

Hallo Suzanne

wieso sind die ersten 3 Vektoren 4-dimensional,
die Matrizen aber dreidimensional ?

Wenn Du Dich auf eine Dimension einigen kannst, dann ist die Umrechnung
zwischen Koordinatensystemen sehr einfach. Alles, was man dazu braucht,
ist die Lösung je eines linearen Gleichungssystems.

Wenn Du z.B. bezüglich einer Basis B_1 (gegeben als Spaltenvektoren)
einen Vektor v gegeben hast, dann
hat dieser bezüglich der (100)(010)(001)-Basis die Darstellung
B_1*v
(d.h. die Spalte i von B_1 wird mit v_i multipliziert und alles aufaddiert).

Wenn Du nun dieses Ergebnis in eine Darstellung zu einer anderen Basis
B_2 umrechnen willst (B_2 sei auch als Spalten einer Matrix gegeben),
dann mußt Du das lineare Gleichungssystem
B_2*x = B_1*v
nach x lösen. Hierin ist nur der Vektor x unbekannt. Die Einträge des
Vektors x sind die Koordinaten von B_1*v bezügl. der neuen Basis B_2 .

Grüße

PS. Gibt einen guten Merksatz für Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen:
"Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Bilder der Einheitsvektoren, bezüglich der neuen Basis ausgedrückt"

Hi nochmal!

Ich befinde mich in einem 3 Dimensonalen homogenen Raum,
also 4 Dimensionen, sorry war da wohl etwas nachlässig beim schreiben!

Verschiebung bzw Translation der Ursprünge geht einfach mit der Matrix:
1 0 0 x
0 1 0 y
0 0 1 z
0 0 0 1

Mein Problem das ich noch habe ist die Umrechnung zu den anderen Basisvektoren

Die Matrix von B nach A müsste (Bx, By, Bz, Bu) sein?
nur wie sieht das von C nach B aus, habe da den absoluten Nullpunkt nicht mit dabei?

grüße

Jester

Eigentlich sollte es genügen, wenn Du die Ursprünge erstmal vergißt und nur den 3D-Basiswechsel machst. Dann nimmste diesen Basiswechsel und kombinierst ihn noch mit der homogenen Translation, die die Basispunkte ineinander schiebt.