Konvergenz

[Exa]

Hallo liebes Forum,
ich schreibe bald ne Analysisklausur 2tes Semester Informatik und mir ist da eine frage gänzlich unklar. Würde folglich über eine einfache und schöne Lösung dieses Problemes freuen. Das ich mal ne Musterlösung habe.

∑^[e]infin[/e]_k=0 ((i+1)/2)^k

in der vorschau sieht das ganze recht schrecklich aus..also die Summe von k=0 bis ∞ von (i+1 / 2 )^k

freue mich über jede antwort und hab die frage nirgends anders gestellt

[Exa]

die frage dazu ist: warum konvergiert die Reihe?

hab ich vergessen

[Maxi]

was ist i? das hast du nicht geschrieben... für |i+1/2|>1 konvergiert sie jedenfalls nicht, dann werden die summanden immer größer

[Christoph]

Exa schrieb:

die frage dazu ist: warum konvergiert die Reihe?

Weil sie absolut konvergiert. Der Betrag von i + 1 ist $\sqrt2$, und weil $\frac{\sqrt2}2 < 1$ ist, konvergiert $\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{\sqrt2}2\right)^k$.

[Exa]

Christoph schrieb:

Exa schrieb:

die frage dazu ist: warum konvergiert die Reihe?

Weil sie absolut konvergiert. Der Betrag von i + 1 ist $\sqrt2$, und weil $\frac{\sqrt2}2 < 1$ ist, konvergiert $\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{\sqrt2}2\right)^k$.

ahm das war mir ehrlich gesagt zu einfach.. bzw. warum ist i+1 = √2?

[Christoph]

Exa schrieb:

bzw. warum ist i+1 = √2?

Nicht i + 1 ist $\sqrt2$, sondern der Betrag von i + 1 ist es.
Absolut konvergent bedeutet:
Sei a_k eine Folge. Dann ist die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ absolut konvergent, wenn $\sum_{k=0}^\infty \left|a_k\right|$ konvergiert.
Absolut konvergente Reihen sind konvergent.