Kleine Frage (LA)
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Warum ist die Lösung von Ax=b äquivalent zur Minimierung von F(x) := (b,x) - 1/2 * (Ax,x). Woher kommt das 1/2?
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Ax=b schrieb:
Warum ist die Lösung von Ax=b äquivalent zur Minimierung von F(x) := (b,x) - 1/2 * (Ax,x). Woher kommt das 1/2?
Vielleicht täusche ich mich, aber AFAIK geht das nur, wenn A eine symmetrische reelle Matrix ist. "Minimierung" bedeutet hier wie so oft: Nullstellen der Ableitung bestimmen. Die Ableitung zu finden ist zum Glück nicht schwer; sei h ein weiterer Vektor, dann ist:
F(x + h) = <b, x + h> - 1/2<Ax + Ah, x + h>
= <b, x> + <b, h> - 1/2<Ax, x> - 1/2<Ax, h> - 1/2<Ah, x> - 1/2<Ah, h>
Jetzt sucht man sich die Terme raus, die linear von h abhängen, das sind:
<b, h> - 1/2<Ax, h> - 1/2<Ah, x>
Wenn A jetzt symmetrisch ist, gilt <Ah, x> = <h, Ax> = <Ax, h>, das heißt man bekommt
<b, h> - <Ax, h>
als Ableitung (die noch mit h multipliziert ist). Als endgültige Ableitung erhält man also
b - Ax
Diese nullsetzen führt zu
b = Ax
was genau das ist, was du haben wolltest.Ob das aber tatsächlich ein Minimum von F ist, weiß man hier noch nicht. Dazu müsste man vermutlich die Hessematrix bestimmen und man bräuchte eventuell noch stärkere Voraussetzungen wie z.B. "A ist positiv definit".
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Die Ableitung muß hier nur null sein, damit Ax=b äquivalent zu F'(x)=0. Daher ist hier die Hesse-Matrix egal.
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MrBesserwisser schrieb:
Die Ableitung muß hier nur null sein, damit Ax=b äquivalent zu F'(x)=0. Daher ist hier die Hesse-Matrix egal.
Der OP sprach aber von Minimieren, und dazu reicht "Ableitung = 0" eben nicht aus.