Fragen zur Approximation von Funktionen via Taylor

[dEUs]

Hi Leute,

ich schreibe am Mittwoch Mathe II und mir sind ein paar Sachen noch nicht ganz klar.
Und zwar folgendes:
Die Aufgabe ist wie folgt:
$f(x) = \frac{x}{a-x^2} ; a\neq0$
Geben Sie eine quadratische Näherungsparabel an, deren Ableitungen an der Stelle x = 0 mit denen von f(x) übereinstimmen.

Ich habe jetzt $T_2(x)$ mit $x_0=0$ bestimmt. Da kommt aber nur $T_2(x)=\frac{x}{a}$ raus. Und das ist ja weder quadratisch noch ne Parabel... Was jetzt?

Und die zweite Frage zu Taylor-Reihen. Man soll den Fehler einer Approximation abschätzen. Nach Rechnung kommt (bei einer anderen Aufgabe) heraus:
\abs{R_2(x)} < 0.00012. Wieso sagt mir das, dass die Näherungsformel auf mindestens 3 Stellen hinter dem Komma genau ist?

[Daniel E.]

dEUs schrieb:

$f(x) = \frac{x}{a-x^2} ; a\neq0$
Geben Sie eine quadratische Näherungsparabel an, deren Ableitungen an der Stelle x = 0 mit denen von f(x) übereinstimmen.

Ich habe jetzt $T_2(x)$ mit $x_0=0$ bestimmt. Da kommt aber nur $T_2(x)=\frac{x}{a}$ raus. Und das ist ja weder quadratisch noch ne Parabel... Was jetzt?

Das ist in der Tat etwas seltsam, weil das quadratische Glied wieder verschwindet und dann nur wieder ein x^3-Glied übrigbleibt ...

Und die zweite Frage zu Taylor-Reihen. Man soll den Fehler einer Approximation abschätzen. Nach Rechnung kommt (bei einer anderen Aufgabe) heraus:
\abs{R_2(x)} < 0.00012. Wieso sagt mir das, dass die Näherungsformel auf mindestens 3 Stellen hinter dem Komma genau ist?

Weil f(x)-T(x)=R(x) <0.00012, also f(x) mit T(x) auf mindestens den ersten drei Nachkommastellen übereinstimmt.

[dEUs]

Daniel E. schrieb:

dEUs schrieb:

$f(x) = \frac{x}{a-x^2} ; a\neq0$
Geben Sie eine quadratische Näherungsparabel an, deren Ableitungen an der Stelle x = 0 mit denen von f(x) übereinstimmen.

Ich habe jetzt $T_2(x)$ mit $x_0=0$ bestimmt. Da kommt aber nur $T_2(x)=\frac{x}{a}$ raus. Und das ist ja weder quadratisch noch ne Parabel... Was jetzt?

Das ist in der Tat etwas seltsam, weil das quadratische Glied wieder verschwindet und dann nur wieder ein x^3-Glied übrigbleibt ...

Eben... Aber ich bin dann schon fertig, oder?

Daniel E. schrieb:

Und die zweite Frage zu Taylor-Reihen. Man soll den Fehler einer Approximation abschätzen. Nach Rechnung kommt (bei einer anderen Aufgabe) heraus:
$|R_2(x)| < 0.00012$. Wieso sagt mir das, dass die Näherungsformel auf mindestens 3 Stellen hinter dem Komma genau ist?

Weil f(x)-T(x)=R(x) <0.00012, also f(x) mit T(x) auf mindestens den ersten drei Nachkommastellen übereinstimmt.

Oh, stimmt Wenn man es so formuliert wird es klar... Danke!

Habe gerade noch ne Kleinigkeit:
Die Aufgabe lautet:
$f(x) = sin x$ soll durch ein Näherungspolynom zweiter Ordnung approximiert werden und der Fehler für $|x|\leq{5}^\circ$ geschätzt werden. In der Lösung wird die Taylor-Reihe für $x_0=0$ entwickelt. Wieso? Weil 0 in der Mitte des Intervalls [-5,5] liegt?

[Daniel E.]

dEUs schrieb:

Daniel E. schrieb:

dEUs schrieb:

$f(x) = \frac{x}{a-x^2} ; a\neq0$
Geben Sie eine quadratische Näherungsparabel an, deren Ableitungen an der Stelle x = 0 mit denen von f(x) übereinstimmen.

Das ist in der Tat etwas seltsam, weil das quadratische Glied wieder verschwindet und dann nur wieder ein x^3-Glied übrigbleibt ...

Eben... Aber ich bin dann schon fertig, oder?

Vermutlich ein Fehler in der Aufgabenstellung. Man kann die komplette Taylorreihe hier einfach hinschreiben (Funktion im Konvergenzbereich auf geometrische Reihe zurückführen) und da kommen nur ungerade Potenzen von x vor.

$f(x) = sin x$ soll durch ein Näherungspolynom zweiter Ordnung approximiert werden und der Fehler für $|x|\leq{5}^\circ$ geschätzt werden. In der Lösung wird die Taylor-Reihe für $x_0=0$ entwickelt. Wieso? Weil 0 in der Mitte des Intervalls [-5,5] liegt?

Außerdem drängt sich 0 als Entwicklungspunkt für Sinus/Kosinus geradezu auf.

PS: Ich schreib morgen HM2

[dEUs]

Viel Glück morgen!

Ein Fehler in der Aufgabenstellung ist eher unwahrscheinlich. War in der Mathe II-Klausur letztes Jahr...

[Daniel E.]

Danke, dir auch.

[dEUs]

Hm, die erste Aufgabe von oben geht noch weiter:
(1)Ist die Funktion gerade, ungerade, periodisch oder keines von diesen?
(2)Welche Schlussfolgerungen ziehen Sie hieraus für die Koeffizienten Fourier-Reihe?
(3)Gilt Ähnliches für die Koeffizienten der Taylor-Reihe - unterscheiden Sie die Fälle Entwicklung an der Stelle x=0 und an den Stellen x!=0.
(4)Bestimmen Sie die Taylor-Reihe in der MacLaurinschen Form. Hinweis: Nutzen Sie die Summenformel einer Ihnen bekannten Reihe.

1: Sie ist ungerade, da f(-x) = -f(x). Sie ist nicht periodisch, da f(x+p) != f(x) ist.
2: Ja... Hier bin ich unsicher. Einerseits bedeutet f ungerade ja, dass an = 0 ist. Aber andererseits gibt es die Fourier-Reihe ja nur für periodische Funktionen... Und das ist die hier ja nicht.
3: Hier bin ich mir nichtmal sicher, ob ich die Aufgabe überhaupt richtig verstehe. Ist hier gemeint, dass man nicht betrachten soll, ob f gerade oder ungerade ist, sondern wo f entwickelt wird? Und wenn das die Frage ist, was ist dann die Antwort?
4: Hier würde ich einfach schreiben:
T\_n(x) = \sum \limits\_{n=1}^\infty \frac{x^{2n+1} }{a^{n+1}
Gilt das denn schon als "bestimmen"? Hab das halt gesehen und hingeschrieben... Aber habe da beispielsweise keine bekannte Reihe als Hilfe verwendet.