kein Plan bei Aufgabe
-
Gegeben sei f: R -> R unendlich oft diffbar, sodass für alle x ein n(x) existiert, sodass die n(x)-te Ableitung von f an der Stelle x gleich 0 ist.
Warum ist dann f ein Polynom?
-
Hi,
geh das doch mal rueckwaerts an.
Bei jedem Polynom n-ten Grades, ist die (n+1)-te Ableitung 0.
So, fuer die Nullfunktion kommt als Stammfunktion bloss eine konstante Funktion, also f(x) = c, in Frage, fuer die wieder nur eine Lineare Funktion usw. . Also ist nur von Polynomen die Ableitung irgendwann 0.
-
Hallo,
das Problem ist, dass das n von x abhängt!
-
Hier stand Muell.
-
nein, das ist nicht unendlich oft diffbar
-
Ok, aber wo genau das Problem jetzt bei dir liegt weiss ich nicht, sorry.
Das n an den Extrema z.B. ist doch 1 und an den Wendepunkten usw. halt anders, also womit genau kommst du denn jetzt nicht klar?
-
dass ich keinen Plan habe, wie ich zeigen könnte, dass f oder _eine feste_ seiner Ableitungen ein Polynom (z.B. die Nullfunktion) ist
-
waere keine ableitung 0, so gaebe es eine folge (x_n) mit f^{(n)}(x_n)\neq0. das waere ein typischer ansatz, wie es weitergeht, sehe ich aber auch gerade nicht.
vielleicht muss man umgebungen von haeufungspunkten betrachten oder sowas.typisch fuer polynomaufgabe waere aber auch, dass es eine voellig triviale antwort gibt, die einfach mit der anzahl nullstellen argumentiert oder so.
-
Vielleicht hilft der Bairesche Kategoriensatz?
WebFritzi?
-
Der Bairesche Kategoriensatz besagt: "In einem vollständigen metrischen Raum ist der Durchschnitt von abzählbar vielen offenen dichten Mengen nicht leer."
Wie man ihn hier anwenden sollte, ist mir allerdings nicht gleich klar. Ich hab's versucht mit den Mengen
Diese sind natürlich offen. Aber die Dichtheit...
-
wie wärs mit den Mengen A_n := {x : f^(n) ist in Umgebung von x ein Polynom} ?
-
Ja, die sind per Definition offen. Und wie zeigst du, dass die dicht sind? Woher weißt du denn, dass überhaupt eine dieser Mengen nicht leer ist?
-
sorry vertippt. Ich meinte: A_n das Komplement deiner A_n. Dann ist deren Vereinigung gleich R, nach Baire also {x : f^ ist in Umgebung von x ein Polynom} offen und dicht
-
hhhhhhh schrieb:
sorry vertippt. Ich meinte: A_n das Komplement deiner A_n. Dann ist deren Vereinigung gleich R, nach Baire also {x : f^ ist in Umgebung von x ein Polynom} offen und dicht
Das versteht doch so keine Sau. Kannst du dich nicht etwas genauer ausdrücken - auf deutsch, quasi. Das Komplement meiner A_n... Aha. Meine A_n sind aber offen. Das Komplement ist demnach abgeschlossen.
-