4. 2. Ableitung einer vektorwertigen Funktion?

2. Ableitung einer vektorwertigen Funktion?

  • H

    Moin!
    Ich schaue gerade mal in's Mathescript von der Uni und bin da auf eine Sache gestoßen, zu der ich gerne mehr wüsste. Leider hört das Skript da auf, wo es interessant wird 😃

    Angenommen ich habe eine vektorwertige Funktion, f:R3→R2f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2
    mit
    f(x,y,z)=(x2y+z,xyz3)f(x, y, z) = (x^2y+z, xyz^3)
    Laut unserem Mathescript wird die jacobische Funktionalmatrix als erste Ableitung bezeichnet. Also:

    f'(x, y, z) = \left( \[ \begin{array}{ccc} 2xy & x^2 & 1 \\ yz^3 & xz^3 &3xyz^2 \end{array} \right)

    Und nun meine Frage: Wie sieht f''(x, y, z) aus?

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  • W

    Wenn f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, dann nennt man das Hesse-Matrix. Für vektorwertige Funktionen kenne ich allerdings keine Entsprechung der zweiten Ableitung. Das müsste ja dann ein Tensor 3. Stufe sein, aber mir fällt grad auch nicht ein wo das Sinn machen könnte.

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  • H

    Walli schrieb:

    Das müsste ja dann ein Tensor 3. Stufe sein, aber mir fällt grad auch nicht ein wo das Sinn machen könnte.

    Das weiß ich auch nicht. Aber es geht mir eher um das geschlossene Konzept in der Analysis...

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  • ?

    du kannst f' auch mit dem R^6 identifizieren und dann ableiten. ansonsten ist die ableitung definiert als lineare funktion L mit
    f(x−ξ)−L(x−ξ)=o(x−ξ)=(x−ξ)⋅H(x−ξ)f( x - \xi ) - L( x - \xi ) = o( x-\xi) = (x-\xi) \cdot H(x-\xi) wobei
    H(0) = 0 und H stetig im Punkt 0 ist. mit dieser definition hast du immer eine ableitung, wenn du eine ableitung hast. ( 🤡 )

    die analysis ist also insofern ein "geschlossenes konzept", als das die jakobimatrix nur die matrixdarstellung von L für f:Rn→Rmf:R^n \to R^m ist. für f:Rn→Rm×Rkf:R^n \to R^m \times R^k ist sie das nicht.

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  • P

    die k-te ableitung von f an der stelle x ist falls existent eine lineare abbildung in h, gegeben durch h|-> <h,nabla>^k f(x), dabei ist <.,.> die formale komponentenproduktsumme.

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  • P

    das stimmt so natuerlich nicht, die k-te ableitung ist eine symmetrische k-linearform, was ich hingeschrieben habe ist, was man erhaelt, wenn man in jeden eingang h steckt, wie beim taylorn.

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  • P

    das stimmt so natuerlich nicht, die k-te ableitung ist eine symmetrische k-linearform, was ich hingeschrieben habe ist, was man erhaelt, wenn man in jeden eingang h steckt, wie beim taylorn.

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