Stetigkeit einer komplexen Funktion

hackbert

Moin!
Die Stetigkeit einer reellen Funktion ist ja relativ leicht. Es reicht, soweit ich weiß, den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert zu berechnen und mit dem Funktionswert abzugleichen. Wie sieht es nun aber bei Funktionen von $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ aus? Hier gibt es ja mehr Möglichkeiten, als von Rechts oder Links anzunähern. Gibt es da eine einfache Methode?

pasti

Durch geeignete Variablensubstitution kann man ObdA z->0 setzten.

Polarkoordinatendarstellung verwenden und r->0 berechnen.

Das ist ein Trick der oft funktionert, es gibt aber kein allgemeines Verfahren.

edit: Wenn du nur auf Stetigkeit prüfen willst, verwende einfach die delta-epsilon-Definition.

hackbert schrieb:

Es reicht, soweit ich weiß, den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert zu berechnen und mit dem Funktionswert abzugleichen.

bist du dir da auch ganz sicher? (tipp: nein.)

XFame

Hi, imho gilt aber $f(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} f(x) \Leftrightarrow f \; ist \; stetig \; in \; x_0.$

pasti

http://shamir.vmp.ethz.ch/svnbuild/basis/analysis/0506/analysis.pdf

Vgl. Satz 5.1.3.1

wolfgke

ghls ölrkövpbiks lrti ,.v schrieb:

hackbert schrieb:

Es reicht, soweit ich weiß, den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert zu berechnen und mit dem Funktionswert abzugleichen.

bist du dir da auch ganz sicher? (tipp: nein.)

Könntest du ein Beispiel geben, wo das *nicht* gilt? Mich wundert es nämlich ein wenig, da man nach dem Folgenkriterium die Folge in 2 Folgen (eine mit Gliedern > x0 und eine mit Gliedern < x0) aufspalten können dürfte und für das n0(epsilon) einfach das max der n0(epsilon) der beiden Teilfolgen nehmen können dürfte. Falls eine der beiden Teilfolgen nur endlich viele Glieder enthält, ist es sowieso trivial.

hi,

wolfgke schrieb:

Könntest du ein Beispiel geben, wo das *nicht* gilt? Mich wundert es nämlich ein wenig, da man nach dem Folgenkriterium die Folge in 2 Folgen (eine mit Gliedern > x0 und eine mit Gliedern < x0) aufspalten können dürfte und für das n0(epsilon) einfach das max der n0(epsilon) der beiden Teilfolgen nehmen können dürfte. Falls eine der beiden Teilfolgen nur endlich viele Glieder enthält, ist es sowieso trivial.

wenn du das ganze für jede "rechtsseitige" und "linksseitige" folge machst, sollte das richtig sein. ansonsten wäre f(x) := sin( 1/x ), f(0) = 0 ein gegenbeispiel, weil im punkt 0 verschiedene folgen verschiedene grenzwerte der bildfolge liefern. (f(x) ist natürlich nicht stetig
(außerdem scheint mir deine begründung, die ich oben zitiert habe, in die falsche richtung zu gehen: du folgerst "stetig" => "rechtsseitig + linksseitig stetig", brauchst aber die andere richtung. obwohl... vielleicht ist es auch nur der kaffee-flash, den ich gerade habe...)

SG1

fgaslej .g schrieb:

wenn du das ganze für jede "rechtsseitige" und "linksseitige" folge machst, sollte das richtig sein.

Das versteht man normalerweise unter linksseitiger (bzw. rechtsseitiger) Grenzwert...

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

Somit folgt sofort, dass der Limes einer Funktion existiert falls der rechtsseitige und der linksseitige Limes existiert und sie gleich sind.

http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)#Einseitige_Grenzwerte

Wenn man jetzt die richtige Definition des (Einseitigen-)Limes verwendet, wie SG1 ausgeführt hat, funktioniert hackberts Verfahren.