stetige umkehrabbildung auf kompakter definitionsmenge
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Ist f eine injektive stetige Abbildung mit (überdeckungs-)kompakter Definitionsmenge, dann ist auch die Umkehrabbildung f^-1 stetig.
hat jemand nen tip, wie ich das zeige?
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Hm, bis Du sicher, daß das alles an Voraussetzungen ist? Oder ist vielleicht der Bildraum noch hausdorffsch?
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Jester schrieb:
Hm, bis Du sicher, daß das alles an Voraussetzungen ist? Oder ist vielleicht der Bildraum noch hausdorffsch?
hm, in den bedingungen steht nicht mehr dabei. aber ich vermute mal, die abbildung soll
sein, also ja. (ein beweis mittels folgenkompaktheit scheint bei mir auch zu funktionieren, aber mich würde ein topologischerer zugang interessieren...)
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Dann ist es einfach.
Du hast ja eine stetige Bijektion auf den Bildraum. Um einen Homöomorphismus zu kriegen mußt Du also nur noch zum Beispiel nachrechnen, daß die Abbildung abgeschlossen ist.
Tipp: Was weißt Du über stetige Bilder kompakter Mengen? Eigenschaften kompakter Mengen in T2-Räumen (hausdorff-räume)?
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Jester schrieb:
Was weißt Du über stetige Bilder kompakter Mengen?
sind wieder kompakt.
Eigenschaften kompakter Mengen in T2-Räumen (hausdorff-räume)?
von hausdorff-räumen kenne ich ehrlich gesagt kaum mehr als die definition.
aber meinst du, dass eine abgeschlossene menge in einem kompaktum wieder ein kompaktum ist, und somit das bild wieder abgeschlossen? *verwirrtsei*
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T2 => (kpt => abg)
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phrück schrieb:
aber meinst du, dass eine abgeschlossene menge in einem kompaktum wieder ein kompaktum ist, und somit das bild wieder abgeschlossen? *verwirrtsei*
So ähnlich. Das brauchst Du auf der Definitionsseite. Auf der Bildseite brauchst Du das was mein Vorposter eben verriet. In T2-Räumen folgt aus kompakt abgeschlossen.
Insgesamt also: Sei A in D abgeschlossen => A ist kompakt (als abg. Teilmenge einer kompakten Menge). Das Bild f(A) ist dann wieder kompakt. Da f(A) kompakt und in nem T2-Raum ist, ist f(A) auch abgeschlossen.
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ah, ok, danke @alle
