ich hab' mich gerade gefragt...

Jester

zu 2) ne doppelte Pfeilspitze.

@pasti:
Von R nach Q? Kein Problem: x geht auf x, wenn x in Q, auf 0 sonst.
Unvollständigkeitssatz vs. Widerspruchsfreiheit funktioniert aber nur bei systemen, die mächtig genug sind die natürlichen Zahlen zu beschreiben, oder?

pasti

@Jester: Ja, aber der Fragesteller hat nach ZEICHNEN gefragt, mit Pfeilen und so.

Das "Zeichen" für surjektiv ist, "surjektiv" hinschreiben

Zu iii) Eine Menge von Axiomen ist wiederspruchsfrei, wenn der logische Abschluss dieser wiederspruchsfrei ist. Somit ist der Test trivial falls man den logischen Abschluss hat. Diesen zu finden ist ja meistens das grosse Problem.

Ich wollte mit meinem Link zum UVS SilverRiver nur auf die allgemene Problematik hinweisen.

Ach ja, noch die Wiederspruchsfreiheit eines Axioms: Was lässt sich logisch aus nur einer Aussage ableiten? Nur die Aussage selbst. Somit besteht der logische Abschluss eines einzigen Axioms aus nur einer Aussage, dem Axiom selbst.

edit: Habe den letzten Abschnitt nochmals geändert, so wie es vorhin stand hat es nicht 100% gestummen.

Jester

pasti schrieb:

@Jester: Ja, aber der Fragesteller hat nach ZEICHNEN gefragt, mit Pfeilen und so.

Ne, er wollte nicht zeichnen, sondern das zeichen. Und er hat sogar noch genauer erklärt was er meint, indem er das Beispiel für injektiv gemacht hat. Wenn man größere Diagramme mit Objekten und Abbildungen hat, dann ist sowas ziemlich praktisch.

pasti

Okey, dann habe ich das ganze falsch verstanden, ich hatte in meinem Kopf so eine Mengenzeichung mit so Pfeilen die die einzelnen Elemente verbinden.

Aber ich glaube nicht das es ein spezielles Zeichen gibt.

Manche verwenden für "nicht surjektiv" so einen gebogenen Pfeil und für surjektiv dann eifach die normale Schreibweise: f: V-> W

Aber das hat bisehr nur ein Prof. gebraucht, ist eher nicht Standard.

Jester

Also ich bin bis jetzt durchgängig der von mir genannten Schreibweise begegnet, auch in Büchern habe ich das schon gesehen. Ob das allerdings so festgelegt ist weiß ich nicht.

pasti

Welche Schreibweise meinst du jetzte genau?

asmodis

Er meint sowas

-> injektiv
->> surjektiv

Ist mir auch schon begegnet, aber als standard würd ich es nicht bezeichnen.

asmodis schrieb:

-> injektiv
->> surjektiv

Ist mir auch schon begegnet, aber als standard würd ich es nicht bezeichnen.

genaugenommen meint er
^c-> injektiv
->> surjektiv.

und dass das kein standard ist, war mir schon klar, mir ist nur entfallen wie mein prof es gemacht hatte
(sides abbildung R->Q kann man übrigens sogar sehr schön mit abbildungspfeilchen zeichnen. man sollte nur davon abstand nehmen, jedes element einzeln anzufassen.)

3. was ist der "logische abschluss"? wiki & google haben nix brauchbares in der richtung. vielleicht englisches stichwort?
man liest auch immer wieder "${Mensch} hat gezeigt, dass ${Axiom} mit dem Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem nicht in Widerspruch steht", in so fern ist der unvollständigkeitssatz nicht die ultimate lösung.
und wieso kann man kein widersprüchliches axiom in der art "ich bin falsch" machen?

1. die beiden begriffe an sich kenne ich. was die zusammensetzung bedeutet, ist für mich zumindest mehrdeutig.

and now, for something completely different:
4. seien A,B mengen und f:A->B, g:B->A surjektive abbildungen. Gibt es eine Bijektion b:A->B ?

pasti

Okey, diese surjektiv, injektiv Pfeile habe ich noch nie gsehen.
In welchem Kontext tauchen die denn auf?

Ein bijektiver Homomorphismus heisst Isomorphismus. Ist nur ne Kurzschreibweise.

Falls d(x,y) eine Metrik und f eine Isometrie ist, dann gilt d(f(x),f(y) = d(x,y)
für alle x,y.

Eine isomorphe Isometrie bzw. ein isometrischer Isomorphismus ist eine Abbildung die eifach beide der obengennanten Eigenschaften besitzt. Diese schliessen sich ja nicht gegenseitig aus.

Zum logischen Abschluss. Ich habe auch kurz gesucht aber nichts wirklich brauchbares gefunden. Wenn jemand einen guten Link hat, bitte posten.

Wenn du Zugang zu einer Unibibliothek hast, schau dir doch mal "Analysis 1" von Amann, Herbert, Birkhäuser Verlag an. Zuhinterst im Anhang ist eine Einführung in die Schlusslehre.

Habe jetzt noch etwas interessantes Entdeckt:

Wikipedia sagt:

Eine Funktion f zwischen zwei Strukturen heißt Isomorphismus, wenn:

* f bijektiv ist,
* f ein Homomorphismus ist,
* die Umkehrfunktion f -1 ein Homomorphismus ist.

Mathworld sagt:

Formally, an isomorphism is bijective morphism.

Edit: Okey, wer lesen kann ist im Vorteil. Zitat Wiki: Man beachte, dass bei Gruppen, Ringen, Körpern, Vektorräumen und einigen anderen Strukturen die dritte Bedingung aus den anderen beiden folgt, man im Allgemeinen jedoch nicht auf sie verzichten kann.

pasti

Zu 4: Ja, gibt es: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem

Du musst nur noch zeigen: Falls eine surjektive Abbildung von A nach B existiert, dann existiert auch eine injektive Abbildugn von B nach A.

MamboKurt

pasti schrieb:

Edit: Okey, wer lesen kann ist im Vorteil. Zitat Wiki: Man beachte, dass bei Gruppen, Ringen, Körpern, Vektorräumen und einigen anderen Strukturen die dritte Bedingung aus den anderen beiden folgt, man im Allgemeinen jedoch nicht auf sie verzichten kann.

beispiel dafür, dass man auf die dritte bedingung i.A. nicht verzichten kann ist in der topologie zu finden. ein topologischer isomorphismus ist ein homöomorphismus, also stetig, bijektiv und die umkehr abblidung ist auch stetig.
das man dies brauch verdeutlicht folgendes beispiel:
f: [0, 2π) -> |C: x |-> e^ix
diese abbildung bildet das interval [0, 2π) auf den einheitskreis ab.
offensichtlich ist die abblidung stetig und bijektiv. die umkehr abbling ist aber nicht stetig, wie man sich anschaulich leicht klar machen kann.

hi und danke.
4. hm, das ist gut. brauche ich denn für den benötigten schluss das auswahlaxiom?

MamboKurt schrieb:

offensichtlich ist die abblidung stetig und bijektiv. die umkehr abbling ist aber nicht stetig, wie man sich anschaulich leicht klar machen kann.

diesen satz hab' ich vor kurzem in einem analysisbuch gelesen

pasti schrieb:

Okey, diese surjektiv, injektiv Pfeile habe ich noch nie gsehen.
In welchem Kontext tauchen die denn auf?

wenn man an der tafel platz sparen will.

Zu 4: Mit Auswahlaxiom gehts sicher. Einen Beweis ohne Auswahlaxiom habe ich mir nicht überlegt.

Jester

pasti schrieb:

Zu 4: Ja, gibt es: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem

Du musst nur noch zeigen: Falls eine surjektive Abbildung von A nach B existiert, dann existiert auch eine injektive Abbildugn von B nach A.

Cantor-Bernstein-Schröder will aber injektive Abbildungen, keine surjektiven.

edit: Und der Logische Abschluß einer axiom-Menge sind einfach alle Aussagen, die sich mittels dieser Axiome herleiten lassen. Im englischen würde ich's mal mit dem Stichwort "deductive closure/hull" versuchen.

Jester schrieb:

pasti schrieb:

Zu 4: Ja, gibt es: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem

Du musst nur noch zeigen: Falls eine surjektive Abbildung von A nach B existiert, dann existiert auch eine injektive Abbildugn von B nach A.

Cantor-Bernstein-Schröder will aber injektive Abbildungen, keine surjektiven.

er hat aber geschireben er brauch AC: nämlich gibt es dann eine Retraktion und dann kann man Cantor-Bernstein-Schröder anwenden

Jester

Ups, übersehen. Der Rest ist aber auch leicht gemacht.