Wieso Vektorräume etc.?
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Hab da mal (vielleicht) ganz triviale Frage(n):
1. Wieso definiert man in der Mathematik Dinge wie Vektorräume, Gruppen, Körper etc., bzw. welcher Sinn steckt dahinter? Hab mich in der letzten Zeit etwas ausführlicher mit solchen Dingen befasst, sehe aber im Moment irgendwie keinen konkreten Vorteil darin zu wissen, dass z.b. der Raum aller stetigen Funktion ein Vektorraum ist. Worin liegt also der konkrete Sinn in einer solchen Abstrahierung?
2. Ist mit "Raum" einem uns anschaulichen Raum gemeint oder wie genau hab ich den Begriff zu verstehen?
3. Auf wikipedia steht zur Definition eines euklidischen Raums, dass es in diesem möglich sei, Längen und Winkel zu messen. In welchen Räumen kann man das denn nicht?(Hängt vielleicht ein bisschen mit 2. zusammen, da ich mir unter Raum einem uns anschaulichen 3-dimensionalen Raum verstehe)
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Matzer schrieb:
Hab da mal (vielleicht) ganz triviale Frage(n):
1. Wieso definiert man in der Mathematik Dinge wie Vektorräume, Gruppen, Körper etc., bzw. welcher Sinn steckt dahinter? Hab mich in der letzten Zeit etwas ausführlicher mit solchen Dingen befasst, sehe aber im Moment irgendwie keinen konkreten Vorteil darin zu wissen, dass z.b. der Raum aller stetigen Funktion ein Vektorraum ist. Worin liegt also der konkrete Sinn in einer solchen Abstrahierung?Der Vorteil ist folgender: Man kann viele Sätze allgemein für jeden beliebigen Vektorraum beweisen. Die Abstraktion, die stetigen Funktionen als Vektorraum aufzufassen, führt also dazu, dass man Sätze aus der linearen Algebra benutzen kann, um Aussagen über diese Funktionen zu gewinnen.
Matzer schrieb:
2. Ist mit "Raum" einem uns anschaulichen Raum gemeint oder wie genau hab ich den Begriff zu verstehen?
Solange ein reeller Vektorraum endlichdimensional ist, kann man sich die Vektoren als "gewöhnliche Pfeile" vorstellen, was bei >3 Dimensionen aber auch schon nicht mehr so einfach ist.
Unendlichdimensionale Vektorräume, wie dein VR der stetigen reellen Funktionen, sind nicht immer sehr anschaulich oder vergleichbar mit "Pfeilen". Im unendlichdimensionalen, oder auch schon wenn man sich nicht auf reelle VR beschränkt, kann es sehr schnell sehr unanschaulich werden, sofern du mit "Anschaulichkeit" "Bezug zum gewöhnlichen, max. 3-dimensionalen rellen euklidischen Raum" meinst.
Matzer schrieb:
3. Auf wikipedia steht zur Definition eines euklidischen Raums, dass es in diesem möglich sei, Längen und Winkel zu messen. In welchen Räumen kann man das denn nicht?(Hängt vielleicht ein bisschen mit 2. zusammen, da ich mir unter Raum einem uns anschaulichen 3-dimensionalen Raum verstehe)
Euklidisch bedeutet, dass der VR reell ist und es ein Skalarprodukt gibt. Wenn man also einen Vektorraum ohne Skalarprodukt hernimmt, gibt es erstmal keine Definition für "Länge" (besser: "Betrag") oder "Winkel". Ein Beispiel ist wieder der VR der stetigen reellen Funktionen; solange man kein Skalarprodukt definiert, weiß man nicht, was es bedeuten soll, dass zwei Funktionen "senkrecht" aufeinander stehen.
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Matzer schrieb:
Hab da mal (vielleicht) ganz triviale Frage(n):
1. Wieso definiert man in der Mathematik Dinge wie Vektorräume, Gruppen, Körper etc., bzw. welcher Sinn steckt dahinter? Hab mich in der letzten Zeit etwas ausführlicher mit solchen Dingen befasst, sehe aber im Moment irgendwie keinen konkreten Vorteil darin zu wissen, dass z.b. der Raum aller stetigen Funktion ein Vektorraum ist. Worin liegt also der konkrete Sinn in einer solchen Abstrahierung?Das ist keine abstrahierung. Das ist einfach so. Mit was willst du sonst rechnen, ohne Axiome und Mengen über die diese Axiome definiert sind? Ohne Vektorräume, Gruppen und Körper bleibt der Mathematik nichts ( und eigentlich nichtmal das nichts).
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xroads42 schrieb:
Ohne Vektorräume, Gruppen und Körper bleibt der Mathematik nichts ( und eigentlich nichtmal das nichts).
Das stimmt nicht, es gibt noch viel mehr.
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xroads42 schrieb:
Matzer schrieb:
Hab da mal (vielleicht) ganz triviale Frage(n):
1. Wieso definiert man in der Mathematik Dinge wie Vektorräume, Gruppen, Körper etc., bzw. welcher Sinn steckt dahinter? Hab mich in der letzten Zeit etwas ausführlicher mit solchen Dingen befasst, sehe aber im Moment irgendwie keinen konkreten Vorteil darin zu wissen, dass z.b. der Raum aller stetigen Funktion ein Vektorraum ist. Worin liegt also der konkrete Sinn in einer solchen Abstrahierung?Das ist keine abstrahierung. Das ist einfach so. Mit was willst du sonst rechnen, ohne Axiome und Mengen über die diese Axiome definiert sind? Ohne Vektorräume, Gruppen und Körper bleibt der Mathematik nichts ( und eigentlich nichtmal das nichts).
quatsch. natürlich ist das eine abstraktion. in der schule rechnet man quasi mit "instanzen" dieser abstraktionen.
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mstudi schrieb:
xroads42 schrieb:
Matzer schrieb:
Hab da mal (vielleicht) ganz triviale Frage(n):
1. Wieso definiert man in der Mathematik Dinge wie Vektorräume, Gruppen, Körper etc., bzw. welcher Sinn steckt dahinter? Hab mich in der letzten Zeit etwas ausführlicher mit solchen Dingen befasst, sehe aber im Moment irgendwie keinen konkreten Vorteil darin zu wissen, dass z.b. der Raum aller stetigen Funktion ein Vektorraum ist. Worin liegt also der konkrete Sinn in einer solchen Abstrahierung?Das ist keine abstrahierung. Das ist einfach so. Mit was willst du sonst rechnen, ohne Axiome und Mengen über die diese Axiome definiert sind? Ohne Vektorräume, Gruppen und Körper bleibt der Mathematik nichts ( und eigentlich nichtmal das nichts).
quatsch. natürlich ist das eine abstraktion. in der schule rechnet man quasi mit "instanzen" dieser abstraktionen.
(|N,+) _ist_ eine Gruppe. Nicht: Eine Gruppe ist eine abstraktion von (|N,+).
dfgdfg schrieb:
xroads42 schrieb:
Ohne Vektorräume, Gruppen und Körper bleibt der Mathematik nichts ( und eigentlich nichtmal das nichts).
Das stimmt nicht, es gibt noch viel mehr.
Ok. Dann sag mit etwas was sich nicht auf Mengen und Axiome zurückführen läßt. (ach ja, diesen teil von mir zitierst du ja nicht. Entschuldige bitte, dass du keine zusammenhänge zwischen sätze erkennst.)
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xroads42 schrieb:
(|N,+) _ist_ eine Gruppe. Nicht: Eine Gruppe ist eine abstraktion von (|N,+).
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xroads42 schrieb:
dfgdfg schrieb:
xroads42 schrieb:
Ohne Vektorräume, Gruppen und Körper bleibt der Mathematik nichts ( und eigentlich nichtmal das nichts).
Das stimmt nicht, es gibt noch viel mehr.
Ok. Dann sag mit etwas was sich nicht auf Mengen und Axiome zurückführen läßt. (ach ja, diesen teil von mir zitierst du ja nicht. Entschuldige bitte, dass du keine zusammenhänge zwischen sätze erkennst.)
Entschuldige bitte, aber dieser Satz von dir ist falsch. Und solange im Satz vorher nicht darauf hingewiesen wird, interessiert der Satz vorher einfach nicht.
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xroads42 schrieb:
(|N,+) _ist_ eine Gruppe. Nicht: Eine Gruppe ist eine abstraktion von (|N,+).
Natürlich ist die Gruppe eine Abstraktion. Ich schau mir (Z,+) an ( (N,+) ist vielleicht eher schlecht, das ist nämlich keine Gruppe) und überlege mir, was die wesentlichen Eigenschaften davon sind, daß man damit so toll rechnen kann. Und dann sage ich: Ein Objekt heißt Gruppe, wenn blablabla. Das ist natürlich eine Abstraktion. Ich versuche konkrete Details (Z ist unendlich groß, abzählbar, zyklisch etc. loszuwerden) um zu einem allgemeineren Konzept zu kommen.
Genau das ist Abstraktion. Ich abstrahiere von der konkreten Gestalt und fordere nur noch die grundlegenden Eigenschaften.
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dfgdfg schrieb:
xroads42 schrieb:
Ohne Vektorräume, Gruppen und Körper bleibt der Mathematik nichts ( und eigentlich nichtmal das nichts).
Das stimmt nicht, es gibt noch viel mehr.
Was denn? (Ok, vielleicht noch Logik. Aber das ist nicht viel mehr.)
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asmodis schrieb:
dfgdfg schrieb:
xroads42 schrieb:
Ohne Vektorräume, Gruppen und Körper bleibt der Mathematik nichts ( und eigentlich nichtmal das nichts).
Das stimmt nicht, es gibt noch viel mehr.
Was denn? (Ok, vielleicht noch Logik. Aber das ist nicht viel mehr.)
Die Grundlage bildet nach dem üblichen Aufbau die Mengenlehre. An algebraischen Strukturen kann man noch Moduln, Ringe (hier kann man nochmals sehr viel unterscheiden), Monoide, Halbgruppen, Magma, (Hopf-)Algebren, etc. hinzufügen. (Vieles hier Aufgeführte trägt zwar auch eine Gruppenstruktur, aber noch mehr.) Dann könnte man noch mit topologischen Räumen, Graphen, Kategorien, ... anfangen.
Finde ich schon viel.
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Aha, du lebst also nicht ohne Gruppen, Körper ... du betrachtest sie nur nicht mehr speziell. Der Rest sind gute Argumente.