Aufgabe zur Vollständigen Induktion

Hallo,

ich hänge gerade an einer Aufgabe und mir fehlt der entscheidende Gedanke:

$\sum \limits_{i=1}^n \frac{i}{i+1} = 1 - \frac{1}{(n + 1)!}$

Induktionsanfang:

$\sum \limits_{i=1}^1 \frac{i}{i+1} = 1 - \frac{1}{(1 + 1)!} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

stimmt offentsichtlich.

Induktionsvoraussetzung:

$\sum \limits_{i=1}^n \frac{i}{i+1} = 1 - \frac{1}{(n + 1)!}$

Induktionsbehauptung:

$\sum \limits_{i=1}^{n + 1} \frac{i}{i+1} = 1 - \frac{1}{(n + 2)!}$

Beim Beweis fehlt mir der richtige Gedanke um ihn zu beenden.

Beweis:

$\sum \limits_{i=1}^{n + 1} \frac{i}{i+1} = \sum \limits_{i=1}^n \frac{i}{i+1} + \frac{n + 1}{(n + 2)!} = 1 - \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{n + 1}{(n + 2)!}$

Bis dahin müsste es korrekt sein. Ab hier bin ich mir allerdings nicht mehr
sicher wie ich umformen muss. Zunächst bring ich alles auf einen Nenner:

$1 - \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{n + 1}{(n + 2)!} = \frac{(n+2)!+(n+1)!(n+1)}{(n+1)!(n+2)!}$

Ab hier komm ich nicht mehr weiter. Wo ist mein Denkfehler?

Danke im Voraus für eure Hilfe.

gast

XFame

gast10 schrieb:

Beweis:

$\sum \limits_{i=1}^{n + 1} \frac{i}{i+1} = \sum \limits_{i=1}^n \frac{i}{i+1} + \frac{n + 1}{(n + 2)!} = 1 - \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{n + 1}{(n + 2)!}$

Bis dahin müsste es korrekt sein.

Wie kommst du auf $\sum \limits_{i=1}^{n + 1} \frac{i}{i+1} = \sum \limits_{i=1}^n \frac{i}{i+1} + \frac{n + 1}{(n + 2)!}$ ?

Es muss $\sum \limits_{i=1}^{n + 1} \frac{i}{i+1} = \sum \limits_{i=1}^n \frac{i}{i+1} + \frac{n + 1}{n + 2}$ heissen.

sry, es muss natuerlich

$\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{i}{(i+1)!}$

also im Nenner steht immer (n+1)!. sry da hab ich mich vertippt/vertan.

gast

volkard

vielleicht ist der nötige schubs, daß du im nenner aus (n+1)! durch erweitern mit (n+2) ein (n+1)!*(n+2)=(n+2)! machen kannst.

1     (n+1)
1 - ------ + -----
    (n+1)!   (n+2)!

=

         1     (n+1)
1 - ( ------ - ------ )
      (n+1)!   (n+2)!

=

      (n+2)   (n+1)
1- ( ------ - ----- )
      (n+2)!  (n+2)!

=

      1
1 - -----
    (n+2)!

hab aber keien ahnung, ob das so gut ist. nur ne idee halt.

und ich probiers auch mal in latex.

\[ 1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} \] = \[ 1 - \left( \frac{1}{(n+1)!} - \frac{n+1}{(n+2)!} \right) \] = \[ 1 - \left( \frac{1\;(n+2)}{(n+1)!\;(n+2)} - \frac{n+1}{(n+2)!} \right) \] = \[ 1 - \left( \frac{n+2}{(n+2)!} - \frac{n+1}{(n+2)!} \right) \] = \[ 1 - \frac{1}{(n+2)!} \]

och, geht ja ganz flauschig.

Vielen Dank!