4. Existenz von multiplikativ Inversen in Unterkörper?

Existenz von multiplikativ Inversen in Unterkörper?

  • X

    Hi,

    wir hatten letztens in der Übungsgruppe folgende Aufgabe:

    Betrachten sie K:=\{a+b\sqrt{2} \hspace{7} | a,b \in Q\}. Ist K ein Teilkörper von R?

    Da (K,*) eine abelsche Gruppe sein muss, müsste K auch alle multiplikativ Inversen beinhalten. Der Übungsleiter hat uns das auch gezeigt, ich komme jedoch zu einem Widerspruch:
    c,d∈Qc,d \in Q

    {a+b2}⋅{c+d2}=1\{a+b\sqrt{2}\} \cdot \{c+d\sqrt{2} \}=1

    ac+2bd+2{bc+ad}=1ac+2bd+\sqrt{2} \{bc+ad\}=1

    2{bc+ad}=1−ac−2bd\sqrt{2} \{bc+ad\}=1-ac-2bd

    2=1−ac−2bdbc+ad\sqrt{2}=\frac{1-ac-2bd}{bc+ad}

    Das hieße doch letztendlich, das 2\sqrt{2} rational ist. Da dem aber nicht so ist, dürften c und d nicht existieren und somit auch keine multiplikativ Inversen, oder hab ich da jetzt einen Denkfehler drin?

    (Krieg leider keine runden Klammern hier in Latex hin, deshalb die geschweiften)

    mfg
    dit Xul

    0
  • S

    Das, oder bc+ad = 0.

    0
  • ?

    Für das inverse Element gilt:

    (a+b2)−1=1a+b2=a−b2(a+b2)(a−b2)=a−b2a2−2b2(a+b\sqrt{2})^{-1} =\frac{1}{a+b\sqrt{2}} =\frac{a-b\sqrt{2}}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})} =\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}

    =aa2−2b2+−ba2−2b22=\frac{a}{a^2 - 2b^2} + \frac{-b}{a^2 - 2b^2}\sqrt{2}
    Ein Koeffizientenvergleich mit Deiner Darstellung ergibt:
    c=aa2−2b2c=\frac{a}{a^2 - 2b^2}
    und
    d=−ba2−2b2d=\frac{-b}{a^2 - 2b^2}
    Wenn Du das in Deinen Nenner einsetzt, bekommst Du tatsächlich null heraus.

    0
  • X

    Ok, danke für eure Hilfe. Diese verdammten Divisionen durch Null vergess ich immer wieder, arg.

    mfg
    dit Xul

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