Integral, das an seinen Grenzen undefiniert ist

N'Abend,

für die Integration der Kreisfunktion finde ich folgende Herleitung:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel965/index_s.html

Da steht ja in Zeile 3 in anderer Schreibweise:
$\int_{-1}^{+1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$

Wieso darf man das?
Bei +/-1 teilt man doch durch 0.
Und Integranden müssen doch auch an ihren Grenzen definiert sein, oder?

Xul

man betrachtet in dem Fall den Limes gegen 1 und -1. So ähnlich wie beim Berechnen von unendlichen Integralen (Welche Fläche schließt die Funktion 1/x im Interval [1,unendlich] ein).

Mfg
dit Xul

Aha, aber man darf das Integral so schreiben wie oben?

Christoph

SeppSchrot schrieb:

Aha, aber man darf das Integral so schreiben wie oben?

Ja, das ist so üblich (AFAIK).

Xul

Ich kenne das ganze so:

$-1<a<b<1$

$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

$\int \limits_{-1}^{1}f(x)dx=\lim_{b \to 1} F(b)-\lim_{a \to -1} F(a)$

Ob das jetz 100%ig korrekt so ist weiß ich leider auch nicht. Habs so in der Schule gelernt.

mfg
dit Xul

Jan

SeppSchrot schrieb:

Aha, aber man darf das Integral so schreiben wie oben?

Wer soll einem das verbieten? Solange klar ist, was gemeint ist, kann man das so schreiben - und in diesem Fall ist klar, was gemeint ist.

pasti

@Xul:

Deine Aussage ist IMHO nur richtig wenn f auf (a,b) stetig ist. Sonst gilt der Fundamentalsatz nicht.

Zudem musst du den links bzw. rechtseitigen Limes bilden.

Xul

@pasti

Ja, das mit der Stetigkeit hab ich stillschweigend vorrausgesetzt. Das mit dem links-/rechtsseitigen Limes kann man sich denke ich mal sparen, da ja -1<a<b<1 gilt.

physici_errantes

IMHO berechnet man dazu den Cauchy-Hauptwert des Integrals, damit ist das ganze dann "erklärt". Kann mich aber auch täuschen.

SeppSchrot schrieb:

Aha, aber man darf das Integral so schreiben wie oben?

Das Integral in der Formel ist in der Tat kein Riemann- sondern z.b. ein Lebesgue-Integral. Damit kannst du Äquivalenzklassen von Funktionen integrieren, wobei zwei Funktionen äquivalent sind, wenn sie sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden. So kannst du die nicht definierten Stellen als 0 definieren, und das Integral von dieser neuen Funktion berechnen. ( Man kann also auch Funktionen berechnen, die an einzelnen Stellen "unendlich" sind.. )

Eine andere Möglichkeit ist, dass das wirklich nur eine Kurzschreibweise für das von Xul angegebene uneigentliche Integral.

Disclaimer: Ich übernehme keine Garantie für die Richtigkeit der Darstellung, und weise auf deren Skizzenhaften Charakter hin.