1 als größte Zahl
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ich muss einen fehler im folgenden beweis finden:
es sei A := {1, 2, 3, ...}
1 ist das größte Element dieser menge, da gilt:
für alle x|=1 gilt:
x < x^2 => x ist nicht das größte element der menge, da es ein größeres Element x^2 gibt.1^2 = 1 => 1 ist das größte Element der Menge, da 1^2 kein größeres element liefert.
leider stehe ich voll auf der leitung, was den fehler im beweis betrifft.
ich bitte um hinweise
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Daraus, dass 2, 3, ... jeweils nicht das größte Element sein können, folgt nicht, dass 1 das größte Element sein muss.
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Der Beweis lässt sich durch ein Gegenbeispiel widerlegen:
Für alle x aus A gilt x >= 1 daraus folgt 1 ist das kleinste Element. x kann nur das größte Element sein wenn für alle x1, x2 aus A gilt: x1 = x2 = 1. Dem ist aber per Definition von A nicht so.
Der Fehler in dem Beweis ist aber, dass dadurch das bewießen ist, dass es für alle Elemente x > 1 ein noch größeres Element gibt keinesfalls bewiesen ist, dass das nicht auch für die 1 gilt, also nicht bewiesen ist, dass 1 das größte Element ist.
Man könnte auch sagen:
Für alle x in A gilt: x*2 > x und damit ist bewiesen, dass es für jedes Element ein noch größeres Element gibt einschließlich der 1.
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Die Aussage x<x² ist im Allgemeinen nicht richtig. Teilst du beide Seiten durch x (x>0, ich geh mal davon aus, dass x ein Element von A sein soll) erhälst du die Aussage 1<x. Daraus folgt, dass die Aussage x<x² nur für alle x größer als 1 Gültigkeit besitzt.
Gruß
dit Xul
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Xul schrieb:
Die Aussage x<x² ist im Allgemeinen nicht richtig.
Das hat ja auch niemand behauptet.
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Die Aussage 3 = 4 ist im allgemeinen auch nicht richtig, hat aber nichts mit der Aufgabenstellung zu tun.
Der Maggus hat rechts!
Schmoggus
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Bashar schrieb:
Das hat ja auch niemand behauptet.
Sehr wohl:
Jover schrieb:
x < x^2 => x ist nicht das größte element der menge, da es ein größeres Element x^2 gibt.
Der Fehler im Beweis liegt darin, diese Aussage auf x=1 zu übertragen.
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Xul schrieb:
Jover schrieb:
x < x^2 => x ist nicht das größte element der menge, da es ein größeres Element x^2 gibt.
Der Fehler im Beweis liegt darin, diese Aussage auf x=1 zu übertragen.
Man sollte vollständig zitieren, der Fall x=1 wurde eine Zeile weiter oben ausgeschlossen:
Jover schrieb:
für alle x|=1 gilt:
x < x^2 => [...]Überträgt man diese Aussage korrekt auf den Fall x=1, dann ergibt sich auch kein Problem. Dann steht links des => etwas unwahres, nämlich 1 < 1. Aus Unwahrem folgt aber beliebiges, also spielt die Seite rechts des => im Fall x=1 überhaupt keine Rolle mehr. Anders gesagt: A => B ("Aus A folgt B") macht keinerlei Aussage darüber, was aus "nicht A" folgt.
Bashar hat bereits gesagt, welche Schlussfolgerung außerdem ungültig ist, und zwar aus dem Grund, dass nicht jede geordnete Menge ein größtes Element enthalten muss.
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Genau. Letztlich wird gezeigt, daß außer der 1 keine andere Zahl die größte natürliche Zahl sein kann. Es bleibt also höchstens die 1 als Kandidat übrig. Das heißt aber nicht, daß die auch die größte ist.
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Xul schrieb:
Der Fehler im Beweis liegt darin, diese Aussage auf x=1 zu übertragen.
Nein, das Hauptargument des Beweises ist ja gerade, dass man diese Aussage auf 1 nicht übertragen kann.
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Danke, eure Antworten haben mir sehr geholfen.
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Du hast eine Menge von Elementen und du willst beweisen für welche Elemente eine Bedinung wahr ist.
Für alle x > 1 beweist du, dass die Bedingung falsch ist.
Folglich ist 1 der einzige Kandidat der übrigbleibt.
Da es sicher ein größtes Element gibt (da ist die falsche Annahme) folgt, dass 1 dieses Element ist.