4. Ableitung von log

Ableitung von log

  • B

    Dies ist eine Herleitung von log' die ich für eine Prüfung zu lernen habe und hab stark den Verdacht, dass die falsch ist.

    Sei y die Variable und x ein Parameter:
    log(xy) = log(x) + log(y)
    log'(x*y)*x = log'(y)
    log'(x    y) = log'(y)/x

    Setzen wir nun für y = 1 ein
    log'(x) = log'(1)/x

    Die Formel sieht zwar richtig aus jedoch haben wir hier nicht nach x sondern nach y abgeleitet. Also steht da ansich:

    d(log(x))/dy = d(log(1))/dy * 1/x
    0 = 0 * 1/x
    0 = 0

    Also wäre
    log'(454577x + x^x) = log'(4544)/x*x+x
    genauso richtig da beide Seiten ja nicht mehr von y abhängen und beide 0 sind.

    0
  • D

    Ben04 schrieb:

    Dies ist eine Herleitung von log' die ich für eine Prüfung zu lernen habe und hab stark den Verdacht, dass die falsch ist.

    Sei y die Variable und x ein Parameter:
    log(xy) = log(x) + log(y)
    log'(x*y)*x = log'(y)
    log'(x    y) = log'(y)/x

    Räusper. Kannst Du mal den Unterschied zwischen Variable und Parameter näher beleuchten (ist y eine Funktion von x?)? Woher kommen diese drei Aussagen? Sind das Festlegungen?

    Bedeutet jetzt f'(x,y) bei dir eine Ableitung nach x oder nach y? Kannst Du vielleicht von vorne erklären, was Du/dein Prof. überhaupt machen willst, was gegeben ist, und wo das Problem ist? Oder die gesamte Herleitung abtippen? Wie habt ihr den Logarithmus eingeführt? Als Integral über 1/x oder als Umkehrung von Exponentialfunktionen oder axiomatisch?

    Ich kapiere jedenfalls die 3 zitierten Zeilen schon nicht (ich habe keine Annahmen gefunden, mit der Zeile 2 korrekt wäre) ...

    0
  • J

    Ich weiß auch nicht, was Ben04 da meint. Aberr log ist die Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion.

    Hat man zueinander inverse Funktionen f,g so kann man die Ableitung der einen leicht berechnen, wenn man die der anderen kennt:

    f(g(x)) = x =>
f'(g(x))*g'(x) = 1 =>
g'(x) = 1/f'(g(x))

    Speziell für f(x) = log x: 1/e^(log x) = 1/x

    0
  • S

    Mal sehen, ob ich das richtig verstanden hab:

    Ben04 schrieb:

    Sei y die Variable und x ein Parameter:

    Soll heissen: Alle Ableitungen beziehen sich auf y.
    Potenzgesetz aufschreiben:

    log(x*y) = log(x) + log(y)

    Beide Seiten ableiten (nach y):

    log'(x*y)*x = log'(y)

    Durch x teilen:

    log'(x*y) = log'(y)/x

    Soweit richtig?

    Setzen wir nun für y = 1 ein

    Und hier wirds Quark, was Dein Lehrer/Prof macht. Ab hier ist naemlich keine Aussage ueber die Ableitung allgemein mehr moeglich, sondern nur ueber die Ableitung an der Stelle y=1.

    Entweder das, oder Du hast da komplett was falsch abgeschrieben... aber in diesem Fall tippe ich auf ersteres.

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  • B

    Daniel E. schrieb:

    Räusper. Kannst Du mal den Unterschied zwischen Variable und Parameter näher beleuchten (ist y eine Funktion von x?)? Woher kommen diese drei Aussagen? Sind das Festlegungen?

    Sorry, wenn ich die Wörter durcheinander werfe. Hab Mathe aber auf französich, bin daher mit den deutchen Fachwörtern nicht sehr vertraut.

    Die Aussage:

    log(x*y) = log(x) + log(y)

    Ist unsere Definition der log Funktion. Ist Schwachsinn sie nicht als Umkehrfunktion zu definieren. Ich muss mich in der Prüfung aber an die gebenen Definition halten.

    Mit Variable meinte ich, dass bei einer Ableitung wir y als nicht Konstant ansehen. Also die Ableitung von
    2y^2 + y + 4
    wäre
    4    y + 1
    Ich hab nicht die Namen für x und y ausgesucht.

    Bedeutet jetzt f'(x,y) bei dir eine Ableitung nach x oder nach y?

    Ich meinte die Ableitung von f_x(y) welche f_x'(y) wäre. x wird dabei wie eine Konstante behandelt.

    Kannst Du vielleicht von vorne erklären, was Du/dein Prof. überhaupt machen willst, was gegeben ist, und wo das Problem ist?

    Gegeben ist nur

    • log(a*b) = log(a) + log(b)
    • log_a(a) = 1
    • log nicht konstant
    • log ableitbar (aber nicht wie)
    • (implicit angenommen) log nur auf ]0;+inf[ definiert

    und die üblichen Ableitungsformeln (also Ableitungs eines Polynomen, zusammengesetzter Funktionen, etc)

    Es gilt nun daraus eine Formel für die Ableitung von log(y) zu basteln wobei y nicht konstant ist (ansonsten wäre es ja einfach 0).

    Ich kapiere jedenfalls die 3 zitierten Zeilen schon nicht (ich habe keine Annahmen gefunden, mit der Zeile 2 korrekt wäre) ...

    Hatte ein paar Zeilen übersprungen:

    log(xy) = log(x) + log(y) | Ableitung beider Seiten
    log'(x*y) * (x    y)' = log'(x) + log'(y) | (1)

    Da x konstant:

    (x*y)' = x | Ableitung einer Geraden (2)

    log'(x) = 0 | Ableitung eines konstanten Ausdrucks (3)

    (3) und (2) in (1):
    log'(x*y) * x = 0 + log'(y)
    log'(x*y) * x = log'(y)
    log'(x*y) = log'(y) / x | (4)

    Da dies für jedes y stimmt, stimmt es auch für y=1:

    log'(x*1) = log'(1) / x
    log'(x) = log'(1) / x | (5)

    (5) ist die Formel die zu beweisen war.

    @Jester Ich weiß, dass ein ordentlich definierter log das Leben sehr einfach machen würde nur ist er dies aber nicht. Mit log(x) meint ich den Logratimus zu irgendeiner Basis (in einer Rechung aber immer die gleiche Basis) nicht umbedingt e.

    Soll heissen: Alle Ableitungen beziehen sich auf y.

    Genau!

    Soweit richtig?

    Ja

    Und hier wirds Quark, was Dein Lehrer/Prof macht. Ab hier ist naemlich keine Aussage ueber die Ableitung allgemein mehr moeglich, sondern nur ueber die Ableitung an der Stelle y=1.

    Ich bin eher der Vermutung, dass der an der Stelle Konstante und Variable verwechselt hat, also nicht mehr weiß auf was sich die Ableitungen beziehen.

    Der Meinung, dass es Quark ist bin ich auch. Steht aber so im offiziellen Schulbuch (wäre aber bei weitem nicht der erste Fehler). Der Lehrer ist eher der Meinung man sollte alle Beweise wieder kotzen.

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  • J

    Ben04 schrieb:

    @Jester Ich weiß, dass ein ordentlich definierter log das Leben sehr einfach machen würde nur ist er dies aber nicht. Mit log(x) meint ich den Logratimus zu irgendeiner Basis (in einer Rechung aber immer die gleiche Basis) nicht umbedingt e.

    Aber die unterscheiden sich zu dem mit Basis e doch immer nur um ne Konstante (als Faktor). Die macht aber an der Ableitung auch nur diesen Faktor. Wenn Du einen log ableiten kannst, dann kannste alle.

    0
  • C
    Mod

    Ben04 schrieb:

    Gegeben ist nur

    • log(a*b) = log(a) + log(b)
    • log_a(a) = 1
    • log nicht konstant
    • log ableitbar (aber nicht wie)
    • (implicit angenommen) log nur auf ]0;+inf[ definiert

    und die üblichen Ableitungsformeln (also Ableitungs eines Polynomen, zusammengesetzter Funktionen, etc)

    Es gilt nun daraus eine Formel für die Ableitung von log(y) zu basteln wobei y nicht konstant ist (ansonsten wäre es ja einfach 0).

    Zuerst brauchst du noch ein paar Aussagen über die so definierte log-Funktion.

    1. log(1) = 0. Das folgt direkt mit der Multiplikationsregel aus log(1*x) = log(1) + log(x).
    2. log(1/x) = -log(x). Das folgt mit 1) auch aus der Multiplikationsregel: log((1/x)*x) = log(1/x) + log(x) <=> log(1/x) = -log(x).
    3. log(x^r) = rlog(x) für alle reellen r und alle positiven x. Das ist kompliziert, deswegen teil ich das auf in vier Schritte:
      3.a) log(x^n) = n*log(x) für natürliches n. Das ist per vollständiger Induktion nicht weiter schwer, da der Fall log(x^1) = 1*log(x) trivial ist und der Rest sofort aus der Multiplikationsregel folgt.
      3.b) log(x^z) = z      log(x^z) für ganzes z (also auch negatives). Das folgt mit 2) sofort aus 3.a).
      3.c) log(x^(1/z)) = log(x)/z für ganzes z != 0. Das ist auch klar wegen
      log(x) = log( (x(1/z))z ) = z*log(x^(1/z)) <=> log(x)/z = log(x^(1/z)).

    Jetzt wissen wir also: log(x^r) = r*log(x) für rationales r und reelles positives x.
    3.d) Da log ableitbar ist, ist es mindestens stetig, also erhält man diese Aussage per Grenzwertbetrachtung für alle reellen r.

    Das müsste für die Ableitung reichen. Denn jetzt wissen wir, dass log_a die Umkehrfunktion von a^x ist, wegen:
    log_a(a^x) = x*log_a(a) = x (und Beachtung der Wertebereiche)

    Damit kann man die normale Ableitungsregel anwenden, die Jester schon gepostet hat und erhält:
    log'(x) = 1/e^log_e(x) = 1/x.

    Die Basis e reicht, weil der Rest sich nur um einen konstanten Faktor unterscheidet.

    p.s.: Vielleicht gehts auch einfacher, aber auf diese Weise müsste es funktionieren.

    edit: Stetigkeit war sogar gegeben, muss man gar nicht mehr begründen.

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  • B

    Scheint zu stimmen. Allerdings ging es mir nicht darum einen Beweiß zu finden (den kann ich auch selbst aufstellen, danke aber) sondern ob der vorgegebene Modelbeweiß überhaupt stimmt.

    Aber die unterscheiden sich zu dem mit Basis e doch immer nur um ne Konstante (als Faktor). Die macht aber an der Ableitung auch nur diesen Faktor. Wenn Du einen log ableiten kannst, dann kannste alle.

    Stimmt auch wieder, wird aber im ganzen Buch wird das nirgends angesprochen. Darf ich also nicht verwenden 😉 .

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  • C
    Mod

    Ben04 schrieb:

    Scheint zu stimmen. Allerdings ging es mir nicht darum einen Beweiß zu finden (den kann ich auch selbst aufstellen, danke aber) sondern ob der vorgegebene Modelbeweiß überhaupt stimmt.

    Achso.

    Ich denke er ist so nicht gültig, denn (ich zitiere):

    Ben04 schrieb:

    log'(x) = 0 | Ableitung eines konstanten Ausdrucks (3)

    (3) und (2) in (1):
    log'(x*y) * x = 0 + log'(y)
    log'(x*y) * x = log'(y)
    log'(x*y) = log'(y) / x | (4)

    Da dies für jedes y stimmt, stimmt es auch für y=1:

    log'(x*1) = log'(1) / x
    log'(x) = log'(1) / x | (5)

    Das könnte sogar funktionieren.

    Die Notation ist allerdings sehr verwirrend, denn sie vermittelt den Eindruck, du würdest einmal nach y und dann plötzlich nach x ableiten. Eindeutiger wäre es IMHO, wenn du statt log'(...) das so schreiben würdest: (D log)(...) mit der Festlegung, dass log'(f(x)) := (D log)(f(x)) * f'(x).
    (D f)(x) ist die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle x. (D f)(a*x) die Ableitung an der Stelle a*x. (D f) bezeichnet also ganz allgemein "die erste Ableitung".
    Im folgenden ist a eine Konstante und der "Ableitungs-Strich" bezeichnet nur noch ausschließlich die Ableitung nach x, nichts anderes, egal wo er steht; das trägt auch zum leichteren Verständnis bei.

    Was erhält man mit dieser Notation?

    log(ax) = log(a) + log(x) | Ableitung beider Seiten
    log'(a    x) = log'(a) + log'(x) | D-Notation anwenden
    (D log)(a*x) * a = (D log)(a) * 0 + (D log)(x) * 1
    (D log)(a*x) = (D log)(x) / a
    Setze x=1
    (D log)(a) = (D log)(1) / a

    Scheint zu funktionieren.

    Ben04 schrieb:

    Aber die unterscheiden sich zu dem mit Basis e doch immer nur um ne Konstante (als Faktor). Die macht aber an der Ableitung auch nur diesen Faktor. Wenn Du einen log ableiten kannst, dann kannste alle.

    Stimmt auch wieder, wird aber im ganzen Buch wird das nirgends angesprochen. Darf ich also nicht verwenden 😉 .

    Die Herleitung ist möglich. 🙂

    0
  • B

    Christoph schrieb:

    log(ax) = log(a) + log(x) | Ableitung beider Seiten
    log'(a    x) = log'(a) + log'(x) | D-Notation anwenden
    (D log)(a*x) * a = (D log)(a) * 0 + (D log)(x) * 1
    (D log)(a*x) = (D log)(x) / a
    Setze x=1
    (D log)(a) = (D log)(1) / a

    Scheint zu funktionieren.

    Mit der Linken Seite bin ich einverstanden. Am Ende bezieht sich die Ableitung ja auch auf a wie es sein sollte.

    Nur verstehe ich nicht was (D log)(1) darstellt. Was ist die Ableitung von log bezogen auf 1? Da sollte die Ableitung bezogen auf a rauskommen.

    0
  • C
    Mod

    Ben04 schrieb:

    Nur verstehe ich nicht was (D log)(1) darstellt. Was ist die Ableitung von log bezogen auf 1? Da sollte die Ableitung bezogen auf a rauskommen.

    (D log)(a) bezeichnet "die Ableitung der Logarithmus-Funktion an der Stelle a" und nicht "die Ableitung nach a". Bei (D log)(...) ist es egal, was die Pünktchen sind, es bedeutet immer "Ableitung von log an der Stelle ...". Die "Ableitungsfunktion von log" (was ich mit (D log) meine) ist eindeutig, weil log nur einen einzigen Parameter hat.

    Man könnte es auch anders notieren, nur diese Notation schien mir gestern abend geeignet zu sein.

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  • B

    Hab es verstanden. Danke

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