quadratische Parabel

Wenn man von einer Parabel (y=ax²+bx+c) zwei Punkte kennt, mit p1=(x1,h) und p2=(x2, h) und x2>x1 (beachte: beide Punkte haben gleichen Y-Wert),
liegt dann das Extremum genau bei x=(x2-x1)/2,
oder kann das auch woanders liegen?

CStoll

Die Parabel liegt symmetrisch bezüglich ihres Extremwertes - also: ja (um den zugehörigen y-Wert zu bestimmen, brauchst du aber noch einen dritten Punkt auf der Parabel)

AndyDD

Wenn Du eine Parabel der Art y=f(x)=ax²+bx+c hast, so hast Du drei Parameter (a,b,c). Zur eindeutigen Bestimmung dieser Parameter brauchst Du, wie CStoll schon sagt, drei Punkte, die in der Wertemenge der Funktion enthalten sind. Nimm doch mal zwei Punkte, die Deinen Vorgaben genügen. Aus denen kannst Du nicht wissen, ob die Parabel nach oben (a>0) oder nach untern (a<0) geöffnen ist. Dadurch ergibt sich ja der y-Wert Deines Extremums. So kannst Du maximal die x-Koordinate bestimmen. So gesehen ist Deine Aussage bezüglich x korrekt, einen Punkt kannst Du aber nicht festlegen.

Es geht mir nur um den x-Wert. Mein VWL-Prof meinte es müsste nicht unbedingt genau die Mitte sein. Habe versucht es zu beweisen, bin dabei aber auf keinen grünen Zweig gekommen. Weder in der einen, noch in der anderen Richtung.

SG1

Achso, sag doch, dass Du gar nicht von Mathematik redest...

CStoll

MrBesserwisser schrieb:

Es geht mir nur um den x-Wert. Mein VWL-Prof meinte es müsste nicht unbedingt genau die Mitte sein. Habe versucht es zu beweisen, bin dabei aber auf keinen grünen Zweig gekommen. Weder in der einen, noch in der anderen Richtung.

Dann lass dir doch von ihm den Beweis geben, daß es nicht so ist

Mal als Ansatz - mit den gegebenen Punkten kannst du die Parabel immerhin teilweise festlegen. Dann mußt du sie nur noch ableiten und feststellen, daß der verbleibende Parameter rausfällt, wenn du die Nullstelle dieser Ableitung suchst.

AndyDD

lol @ CStoll, ist natürlich auch eine Lösung. Aber ist nicht der Beweis schon in der Symmetrie der Funktion gegeben? Für alle reellen Zahlen gilt doch
f(x+n)=f(-x+n), wobei n die Verschiebung auf der X-Achse bezüglich des Ursprungs ist.
Diese Spiegelachse ist doch identisch mit dem Extremum der Funktion, somit kann man zeigen das es die Mitte sein müsste.

Taurin

Oder ganz einfach: Man kann jede Parabel auch schreiben als
$y = \alpha(x-\beta)^2 + \gamma$
Jetzt gilt hier:
$h = \alpha(x\_1-\beta)^2 + \gamma = \alpha(x\_2-\beta)^2 + \gamma$
$(x\_1-\beta)^2 = (x\_2-\beta)^2$
Wurzel ziehen gibt uns zwei Lösungen:
1. $x\_1-\beta=x\_2-\beta$ bzw. $x\_1 = x\_2$ ist in unserem Fall Quark.
2. $x\_1-\beta=-(x\_2-\beta)$ bzw. $\beta = 0.5(x\_1-x\_2)$

jerry

Hallo Leute,

das lässt sich leicht (!) analytisch lösen und damit den Allgemeinfall beweisen (Mittelstufenmathe):

Für beide y = h gilt:

h = a x2² + b x2 + c (1)
h = a x1² + b x1 + c (2)

(1) minus (2) liefert unter Verwendung der binomischen Formel (a+b)(a-b)

0 = a(x2 + x1))(x2 - x1) + b (x2 - x1)

0 = a (x2 + x1) + b (3) !!

Der zweite Ansatz ergibt sich aus der Tatsache, dass das Minimum stets aus der Ableitung errechnet wird:

0 = 2 a x + b -> -b/(2 a) = x = xmin

Aus (3) folgt:

-b/a = (x2 + x1). Durch 2 dividiert ergibt:

-b/(2 a) = (x2 + x1)/2 = xmin !

In der Klammer muss + und nicht minus stehen: angenommen x2= 28 u. x1 = 14, dann muss x = xmin = 21 sein -> (28 + 14)/2 = 21.

Leider liegt nach der Rechnung der VWL-Prof halt ein bisschen verkehrt, aus Symmetriegründen muss das Minimum genau dazwischen liegen für y1 = h = y2.

Viel Spass

Jerry

jerry