Injektivität nachweisen

Hallo!

Ich möchte gern nachweisen, dass folgende Funktion nicht injektiv ist:

R -> R
x |-> x^2

Ob eine Funktion injektiv ist kann ich ja nachweisen, wenn f(x1) = f(x2) -> x1 = x2
Also:

x1 = sqrt(y1) sqrt(y2) = x2

Ich kann es aber auch nachweisen, wenn x1 ≠ x2 -> f(x1) ≠ f(x2)
Also:

f(x1) = (x1)^2 (x2)^2 = f(x2)

Aber warum sollte jetzt sqrt(y1) = sqrt(y2) gelten und (x1)^2 ≠ (x2)^2

Hättet ihr vielleicht ein, zwei Beispiele, in denen Injektivität nachgewiesen wird für mich, damit ich das viell ein bisschen besser kapiere?!

Danke im voraus

Daniel E.

Vorsicht, sqrt(bla) ist keine Umkehrfunktion der Quadration, sondern nur des "positiven Astes".

Nennen wir deine Funktion x |-> x^2 mal f, dann gilt offenbar:
f(-1) = (-1)^2 = 1
f(1) = 1^2 = 1

sowie: sqrt(1)=1; sqrt(-1) ist in der reellen Analysis aber gar nicht definiert.

ja das war mir schon klar, aber mir geht es darum wie ich allgemein nachweise ob eine funktion injektiv ist oder nicht. du hast jetzt ja im prinzip nur 2 zahlen genommen und anhand dere gezeigt, dass die funktion nciht injektiv ist, weil bei x = 1 und x = -1 der gleiche funktionswert rauskommt. aber wie kann ich das jetzt bei schwierigeren funktionen nachweisen, zB

Z -> Z
x |-> (x*|x| - 5) / (x + 5)

wenn die funktion injektiv ist, gilt ja wieder x1 =≠ x2 -> f(x1) ≠ (x2)

f(a) = (a*|a| - 5) / (a + 5)
f(b) = (b*|b| - 5) / (b + 5)

laut dem funktionsgrapher scheint die funktion injektiv zu sein, dh. f(a)≠f(b) aber woher weiß ich denn dass die 2 funktionswerte wirklich ungleich sind?!

Ponto

melongex schrieb:

ja das war mir schon klar, aber mir geht es darum wie ich allgemein nachweise ob eine funktion injektiv ist oder nicht. du hast jetzt ja im prinzip nur 2 zahlen genommen und anhand dere gezeigt, dass die funktion nciht injektiv ist, weil bei x = 1 und x = -1 der gleiche funktionswert rauskommt. aber wie kann ich das jetzt bei schwierigeren funktionen nachweisen, zB

Z -> Z
x |-> (x*|x| - 5) / (x + 5)

wenn die funktion injektiv ist, gilt ja wieder x1 =≠ x2 -> f(x1) ≠ (x2)

f(a) = (a*|a| - 5) / (a + 5)
f(b) = (b*|b| - 5) / (b + 5)

laut dem funktionsgrapher scheint die funktion injektiv zu sein, dh. f(a)≠f(b) aber woher weiß ich denn dass die 2 funktionswerte wirklich ungleich sind?!

Z -> Z

?

Ich denke dass da selten etwas aus Z rauskommt. Z \ {-5} -> R ist besser.
Diese Funktion für R\{-5} -> R ist diese Funktion nicht injektiv, da sie für x gegen positiv und negativ unendlich nach positiv unendlich strebt.

Für Z\{-5} -> R ist mir das zu mühselig.

Ponto

Ponto schrieb:

Für Z\{-5} -> R ist mir das zu mühselig.

Aber nicht dem Computer: f(-10) = 21 und f(-11) = 21. Damit ist die Funktion nicht injektiv.

hi,

erstmal ist ein gegenbeispiel ein gültiger beweis. nicht-injektivität zeigt man oft damit, dass man einen konkreten fall angibt.
injektivität kann man zum beispiel zeigen, indem man f(x)=f(y) annimmt, und daraus x=y folgert. oder, wenn die ableitung keine nullstellen hat, dann ist die funktion streng monoton steigend. oder irgendwie anders, kreativ

indem man f(x)=f(y) annimmt, und daraus x=y folgert.

gerade darum gehts mir ja, ich weiß zwar, dass ich so zeigen könnte, dass eine funktion injektiv ist, aber mir fehlt einfach ein beispiel,dass ich das auch so anwenden kann...