4. Problem mit Ungleichung

Problem mit Ungleichung

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    Hi!

    Hab eine Frage zum Thema Ungleichungen, speziell, wenn ich eine Wurzel in der Ungleichung habe und diese "wegquadrieren" soll, kenn ich mich noch nicht so aus:

    x - 5 + sqrt(2x-1) ≥ 0
    sqrt(2x-1) ≥ 5 - x

    Jetzt darf ich ja nur quadrieren, wenn die linke und die rechte Seite der Ungleichung ≥ 0 ist, setzt ich dann auf der rechten Seite einen Betrag, damit ich das darf, also:

    sqrt(2x-1)^2 ≥ |5 - x|^2
    2x-1 ≥ |25 - 10x + x^2|

    und mach dann eine Fallunterscheidung wann 25 - 10x + x^2 > 0 bzw wann 25 - 10x + x^2 < 0 als 0 ist oder?! Stimmt das, oder denke ich da falsch?

    danke, mfg
    thomas

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  • D

    Thomas Bühler schrieb:

    Jetzt darf ich ja nur quadrieren, wenn die linke und die rechte Seite der Ungleichung ≥ 0 ist, setzt ich dann auf der rechten Seite einen Betrag, damit ich das darf, also:

    sqrt(2x-1)^2 ≥ |5 - x|^2

    Wie kommst Du darauf, das zu dürfen?

    Nehmen wir mal x=10:

    Dann steht in der ursprünglichen Ungleichung
    sqrt(19) >= -5

    Stimmt offenbar.

    sqrt(19) >= 5 ist aber falsch.

    Du kannst doch an diesem Punkt schon mit den Fallunterscheidungen anfangen ...

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  • ?

    Du kannst doch an diesem Punkt schon mit den Fallunterscheidungen anfangen ...

    ja aber was soll ich denn unterscheiden:
    sqrt(2x-1) ≥ 5 - x

    bzw. wie komme ich denn jetzt auf die lösung der ungleichung? um sie zu lösen muss ich ja wohl die wurzel wegbekommen, oder? und dafür werde ich quadrieren müssen!?

    mfg,
    thomas

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  • D

    Erst mal ist die Ungleichung ja nur für 2x-1 >=0 definiert, also für x>=1/2.

    Dann überlegst Du dir: die linke Seite ist immer positiv, also ist schon mal zwangsläufig für alle x>5 die Ungleichung erfüllt, weil die rechte Seite dabei immer negativ ist.

    Bleibt der Bereich 1/2<x<5, den Du dir näher ansehen müßtest ...

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  • ?

    Auf die Betragsstriche kannst Du verzichten. (5-x)^2 ist allein schon wegen des quadrierens immer positiv (D.h. (x-5)^2 = |x-5|^2). Dann wirds auch mit dem auflösen leichter.

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  • A

    MrBesserwisser schrieb:

    Auf die Betragsstriche kannst Du verzichten. (5-x)^2 ist allein schon wegen des quadrierens immer positiv (D.h. (x-5)^2 = |x-5|^2). Dann wirds auch mit dem auflösen leichter.

    Eine Ungleichung kann aber durch quadrieren falsch werden, wenn nicht beide Seiten größer 0 sind (1 >= -5, aber 1 nicht >= (-5)^2)

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  • ?

    Das mag schon sein, dass eine Ungleichung mit quadrieren falsch wird. Hier spielt das aber keine große Rolle.

    Wenn man die Ungleichung zerlegt hat man:
    1.) x - 5 >= 0
    2.)sqrt(2x-1) >= 0

    Sowohl f(x):=5-x, als auch g(x):=sqrt(2x-1) sind streng monoton steigend (einmal eine Gerade, einmal eine Wurzelfunktion)

    f(x)>=0 heißt offenbar x>=5
    g(x)>=0 heißt offenbar x>=0,5

    Nun wiederum folgt für die Summe s(x):=f(x)+g(x):
    1.)s(x) ist streng monoton steigend
    2.)Es gibt ein a mit 0,5 <= a <= 5 für das gilt: s(x)>=0, für alle x>a

    Dieses a berechnet man, indem man die Gleichung s(a)=0 ausrechnet.

    x-5+sqrt(2x-1)=0
    sqrt(2x-1)=5-x
    2x-1=(5-x)2=25-10x+x2
    x^2-12x+26=0

    Mit pq-Formel folgt x1=9,16 u. x2=1,84

    da x1>5 können wir diese Lösung ausschließen, bleibt

    x2 = 1,84 = a

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