H^i(U, F) = H^i(X, j!F)

Es gilt ja für j: Z -> X abg. Immersion, dass H^i(Z, F) = H^i(X, j_*F).

Jetzt frage ich mich, ob nicht auch der analoge Beweis für eine offene Immersion geht:

Sei j: U -> X offene Immersion, F Garbe auf U, I^i welke Auflösung von F. Dann ist j_!I^i welke (da j_!I^i(V) = I^i(U geschnitten V) oder?) Auflösung (da j_! exakt ist, weil auf den Halmen exakt) von j_!F. Weiter ist j_!F(X) = F(U), also folgt die Behauptung.

Ich vermute aber, dass da irgendwo ein Fehler ist, weil der Satz sonst bestimmt auch angegeben wäre.

lol. Ja ne is klar

eine Frage schrieb:

Es gilt ja für j: Z -> X abg. Immersion, dass H^i(Z, F) = H^i(X, j_*F).

Jetzt frage ich mich, ob nicht auch der analoge Beweis für eine offene Immersion geht:

Sei j: U -> X offene Immersion, F Garbe auf U, I^i welke Auflösung von F. Dann ist j_!I^i welke (da j_!I^i(V) = I^i(U geschnitten V) oder?)

Ich vermute jetzt, genau da ist der Fehler: Die globalen Schnitte von j_!F sind für U < X leer, wenn X = A_k, k unendlich, U = X - {P}, oder?

Ja

eine Frage schrieb:

eine Frage schrieb:

Es gilt ja für j: Z -> X abg. Immersion, dass H^i(Z, F) = H^i(X, j_*F).

Jetzt frage ich mich, ob nicht auch der analoge Beweis für eine offene Immersion geht:

Sei j: U -> X offene Immersion, F Garbe auf U, I^i welke Auflösung von F. Dann ist j_!I^i welke (da j_!I^i(V) = I^i(U geschnitten V) oder?)

Ich vermute jetzt, genau da ist der Fehler: Die globalen Schnitte von j_!F sind für U < X leer, wenn X = A_k, k unendlich, U = X - {P}, oder?

Besser gesagt, wenn U nichtleere echte offene Teilmenge und X irreduzibel ist?

Ja

Der Knackpunkt: Sei U nichtleere echte offene Teilmenge und X irreduzibel. Dann sind die globalen Schnitte 0 *), auf U aber nicht, also kann die Garbe nicht welk sein.

Die Halme an einem Punkt außerhalb von U sind 0 nach Konstruktion. Jede offene Teilmenge, auf der ein Keim dieses Halmes definiert ist, schneidet sich mit U wegen X irreduzibel. Also muss auch ein globaler Schnitt auf U 0 sein.