Umformung der Brechung mit Snellius Gesetz und Vektoren

otze

Ich muss für mein anstehendes Referat eine Einführung in das Raytracing inklusive Brechung/Reflektion machen, und die Formeln erklären können.

Dafür hab ich erstmal versucht, diese Beiden Rechnungen so umzuformen, dass sie mit vectoren funktionieren. Bei der reflektion war dies noch einfach(und das Ergebnis stimmt auch mit den Online Quellen überein), aber bei der Brechung bin ich auf Probleme gestoßen.

Laut Snellius gesetz gilt ja sin β=sin α*n1/n2. Demnach muss es krachen, wenn n1>>n2, da dann sin β>1 währe.

Dies muss sich dann auch in der Umformung wiederspiegeln, aber irgendwie gibt es sowas bei mir nicht . Deshalb glaub ich, dass ich irgendwo einen ziemlich dummen fehler gemacht hab, und bitte euch, euch mal wohlwollend drüber zu beugen

Zuerst eine Skizze:

W
Q------->R
  \      ^
    \ [e]alpha[/e]  |
      \  |n
        \|        Objekt mit Brechzahl n1
---------P--------
         |\       Objekt mit Brechzahl n2
         |[e]beta[/e]\
         |  \
         v   \
         R'-->Q'
           W'

(nun folgt der Mathematische teil, ich hoffe, ich benutz die richtige Mathematische Schreibweise :D)

Gegeben sind die Punkte P und Q sowie der Normalenvector n mit der länge 1.
Gesucht ist ||Q'-P||

im folgenden gilt: i=||P-Q||

Aus der berechnung der Reflektion weis ich, dass gilt:
R=Q+2i-2(i.n)n
W=R-Q=2i-2(i.n)n

Snellius gesetz:
sin β=sin α*n1/n2

Es gilt: |W|=sin α, |W'|=sin β, W||W'

daraus folgt:
W'=Wn1/n2
=2i-2(i.n)nn1/n2

Q'=R'+W'
=-R+W' da R'=-R
=-Q-[2i-2(i.n)n]+n1/n2[2i-2(i.n)n]
=-Q-(1-n1/n2)[2i-2(i.n)n]
=-Q-2(1-n1/n2)[i-(i.n)n]

||Q'-P||=||-Q-2(1-n1/n2)[i-(i.n)*n]-P||