ringhomo def: f(1) = 1?
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ich lerne grad algebra und da is mir aufgefallen, dass in der definition von ringhomomorphismus bei uns steht:
f(a+b) = f(a)+f(b)
f(ab) = f(a)f(b)
f(1) = 1
aber wir f(1) = 1 nicht von der zweiten vorraussetzung impliziert?
wir wissen: die 1 ist eindeutig: 1' = 1*1'=1
f(a) = f(1*a) = f(1)*f(a) => f(1) = 1, da dies für alle a in R gilt.oder gilt das evtl nur bei surjektiven homos? wenn ja kennt jemand ein gegenbeispiel für nicht surjektive homos?
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Beispielsweise mit f: Z --> Q/Z, da wird jedes Element auf die 0 geschickt. Vielleicht möchte man sowas verhindern.
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jau danke
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Deine Begruendung geht davon aus, dass f(a) ein Inverses hat - was in einem Ring ja nicht zwingend gegeben ist.
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@sg1: warum geht meine begründung davon aus, dass f(a) ein inverses hat?
wenn ich mir bei einem ringhomo vorgebe, dass f(1) = 1, dann kann ich aber den nullring R = ({0}, +,*) in keinen anderen ring mit einem homo einbetten außer den nullringselbst, da 0 hier das additive und multiplikative inverse ist, also 0 = 0_R = 1_R, oder täusche ich mich?
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MamboKurt schrieb:
f(a) = f(1)*f(a) => f(1) = 1, da dies für alle a in R gilt.
Der Schluss gilt nur, wenn f(a) ein Inverses hat (denn mit genau dem multiplizierst Du die Gleichung ja)
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das stimmt meiner meinung nach nicht. ich gehe davon aus, dass der zielring unitär ist, also, dass es ein element e gibt, so dass e*a = a*e = a für alle a im ring. da dieses e eindeutig ist, kann ich meine schlussfolgerung ziehen.
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Nein. Wenn f≡0 dann steht da 0=0 und f(1) ist auch 0. Dass f(1)=1 in der Definition gefordert wird ist zwar nicht unbedingt üblich, aber euer prof will halt nur ringhomomorphismen betrachten, die die 1 erhalten (unser prof hat das danach einfach hingeschrieben)
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mal abgesehen von f = 0 ...
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Nimm mal Z / 4Z und f als Identität, dann ist 2=f(2)=f(2)*f(3)=2*3 (mod 4), aber daraus folgt nicht, dass f(3)=1
Es ist aber richtig (sofern beide Ringe eine 1 haben), dass automatisch f(1)=1, denn für alle a gilt f(1)*f(a)=f(1*a)=f(a)=f(a*1)=f(a)*f(1) => f(1) =1.
Du hast nur eine der Gleichungen hingeschrieben, daher ist deine Implikation falsch.
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ich denk halt nich an sowas wie nullteiler
