Injektivität beweisen
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Ich brauche dringend Hilfe.
Muss diese Aufgaben bis Montag lösen und keiner aus meinem Kurs versteht es.
Aufgabe 1:
Sei ƒ: M→N eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) ƒ(x) = ƒ(y) → x = y, für alle x,y ε M.
(b) es gibt eine Abbildung g: M→N so dass g(ƒ(x)) = x,
für alle x ε M.In diesem Fall heißt die Abbildung ƒ injektiv.
Aufgabe 2:
Sei M eine Menge. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) M ist unendlich.
(b) es gibt ein y ε M und eine injektive Abbildung ƒ: M→M mit ƒ(x) ≠ y, für alle x ε M.Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte,denn mein Prof hat uns hierzu nicht mal ein Beispiel gezeigt.
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(a) ==> (b) für x in f(M) definiere g(x) := f^{-1}(x) (nach (a) wohldefiniert, es gibt nur ein Urbild, und es gibt auch eins wegen x in f(M)!) für x in N - f(M) kann man ein beliebiges Element nehmen. Zeige jetzt, dass das die eigenschadt hat
(b) ==> (a) f(x) = f(y) ==> x = g(f(x)) = g(f(y)) = y
(a) ==> (b) da A unendlich ist, kann man eine Folge a_i, i in IN wählen. nimm für f die Abbildung f(a_i) = a_{i+1} und die Identität sonst und prüfe, dass injektiv
(b) wäre M endlich, so wäre |M| = (f injektiv) |f(M)| = |M - {y}| = |M| - 1