Ableitungen Ungeleichung
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Hallo!
Kann man folgendes explizit sagen:
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
dann gilt auch
f'(x) ≤ g'(x) ≤ h'(x)
ich hab das mal durchprobiert und finde kein gebenbeispiel ...
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Naja, guck dir halt mal f(x)=x^2-20 und g(x)=1 an, wobei beide vom Intervall I=(1,2) nach R abbilden. Offensichtlich ist f(x)<g(x) aber f'(x)=2x > g'(x)=0 für alle Werte aus (1,2).
Man muß bei sowas ein bißchen aufpaßen, oft hilft bei solchen Ungleichungen auch der Mittelwertsatz.
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schade *g* hätte meine aufgabe erheblich erleichtert, genau geht es um folgende funktionen
1 - 1/2 x^2 ≤ cos x ≤ 1 - 1/2 x^2 + 1/24 x^4
wie kann ich hier denn den mittelwertsatz verwenden? ich hätte bis jetzt nur an den zwischenwertsatz gedacht. weiß aber auch nicht recht wie ich den hier anwenden soll. steh ein bisschen auf der leitung bei dieser aufgabe ...
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Hier würde ich mir die ersten Gleider der Taylorreihe vom cos ansehen ...
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Für x=0 sind die Funktionswerte gleich. Wenn du nun zeigen kannst, dass die Ableitungen links von 0 absteigend und rechts von 0 aufsteigend sortiert sind (um mich mal kurz zu fassen), dann ist die Behauptung bewiesen
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@Jan einfach schaun ob die eine funktion monoton fällt oder die ander steigt? die steigung kann aber ja trotzdem flacher sein als die von cos !?
@Daniel E.
Wir hatten leider noch keine Taylorreihen, den ersten Satz haben wir ganz kurs mal erhähnt (die lineare approximieren)
aber die wäre ja irgendwiey = -sin (c) * x + d
oder? so komme ich ja auf kein 1- 1/2 x^2 ...?!