Konvergenzbeweise bei Rekursiven Folgen

Hi allerseits.
Wir behandeln zur Zeit Konvergenzbeweise.
Eine Aufgabe lautet:

Untersuchen sie folgende Folge auf Konvergenz und berechnen sie den Grenzwert.

a\_0=1$, $a\_{n+1}=\sqrt{1+a_n}

Konvergenzbeweise sind mir bei explitzen Folgen ja noch recht klar, ich weiß nur nicht, wie ich mit rekursiven Folgen umgehen soll.

Eine Beweisidee wäre:
Erst zeigen, dass $$(a_n)$$ monoton steigend ist.
Dann müsste ich noch zeigen, dass die Folge beschränkt. Danach müsste ich nur noch zeigen, dass mein vermuteter Grenzwert auch das Supremum der Folge ist.

Die Monotonie über Induktion zu zeigen, sollte ja nicht so schwer sein.
Aber ich hab zZ keine Ahnung, wie ich einen Grenzwert vermuten soll und auch wie ich beweisen kann, dass er das Supremum ist.

Ich wollte die Folge nicht extra explitz machen, weil es ja auch eine Vorgehensweise für rekursiven Folgen geben muss.

Wäre für jeden Denkanstoß dankbar

SG1

Naja, probiers doch mal mit den üblichen Verdächtigen: e, pi, goldener Schnitt...

Taurin

Ein ganz beliebter Trick ist, einfach mal die Indices weglassen, denn für den Grenzwert (wenn er existiert) muss ja (in gewisser Weise) gelten:
$a = \sqrt{1 + a} \Rightarrow a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Wenn man das einfach so hinschreibt, ist das noch kein Beweis für nix. Aber du hast schon mal einen guten Ansatzpunkt. Den Rest kannst du mit Induktion totschlagen.