Modularitätsgesetz
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hallo.
ich soll folgende aussage zeigen, habe aber noch keine idee wie ich es angehen soll.V ... Vektorraum
U1, U2, U3 sind Unterräume von VWenn U1 teilmenge von U3, dann gilt:
U1 + (U2 geschnitten U3) = (U1 + U2) geschnitten U3
kann mir jemand nen hinweis geben wie ich das ganze angehen soll?
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Ansatz: Zeige, daß die linke Menge in der rechten enthalten ist und umgekehrt.
Beispielhaft zeige ich mal links liegt in rechts:
x daraus läßt sich schreiben als u + v mit u in U_1 und v in U_2 und U_3. v liegt in U_3, u liegt in U_1, das ist aber Teilmenge von U_3, also liegen sowohl u und v in U_3, damit auch x in U_3. Da u in U_1 und v in U_2 liegt u+v in U_1 + U_3, also x in U_1+U_3, also x in (U_1 + U_2) schnitt U_3.
Die Rückrichtung geht ähnlich.
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danke!
auf so ne einfache lösung hab ich gar nicht gedacht.
hab irgendwie mit den Basen der Unterräume rumgespielt ...
vielen dank auf jeden fall.
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hmmm.
habe mich nun an der gegenrichtung versucht.
leider bin ich etwas skeptisch ob das so stimmt.u e U1
v e U2 und v e U3 => v e U2 schnitt U3x = u + v => x e U1 + (U2 schnitt U3)
ich bin etwas skeptisch, dass wenn man v so annimmt, der beweis nicht generell gültig ist.
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Du mußt den Vektor so hinschreiben, wie die Menge aussieht. Ist x aus der rechten Menge, dann ist x insbesondere schon in U_3. Außerdem läßt es sich als u+v mit u in U_1 und v in U_2 schreiben. Wegen U_1 Teilmenge U_3 liegt dann u schon in U_3, also auch x-u in U_3, also v in U_3 und damit biste dann auch schon fast fertig.
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hmmm ...
ja, das kapier ich.
vielen dank nochmal.