Stetigkeit

Weedjo

Hey! Das thema lautet stetigkeit und ich hab irgendwie nich so wirklich peil wie ich das machn soll schätze ma links/rechtsseitiger limes oder irgendwie sowas
Leider stannt unser Lehrer unter Zeitdruck und hat uns nix erklärt, von wegen stetigkeit oder so.
Aufgabe:
Man zeichne den Graphen der angegeben Funktion und prüfe nach, wo der Graph keine eindeutige Tangente besitzt!
y=f(x)=
2x² für 0<=x<1
3x-1 für 1<=x<2
6-2/x für 2<=x<=5

Habe das ganze mal mit meinem Programm gemalt: Die lange funktion ist die zusammengesetzte funktion und die striche die da so lustig durchschießen die Ableitung.
http://img238.imageshack.us/img238/3180/graphenkg8.jpg

Wär echt klasse wenn ihr mir helfen könnten

THX 1138

Wenn ich mich recht errinere, bildet man die Tangente durch die erste Ableitung der Funktion..
..wenn die Tangentensteigung sprunghaft ändert oder so..

Bashar

Vielleicht hilft es dir ja schon, dass es in der Aufgabe um Differenzierbarkeit, nicht um Stetigkeit geht. Viel zu erklären gibt es in der Aufgabe nicht. Zum Begriff der Differenzierbarkeit eigentlich schon, aber wenn man das mit der Eindeutigkeit der Tangente abhandeln kann, braucht es keine weiteren Erklärungen.

Weedjo

Habe meinen Lehrer heut in der Schule mal zum Schule um einen Ansatz gebeten. Habe jetzt die Lösung raus und für alle die's noch interessiert ma die Lösung: Man bildet einfach die erste Ableitung aller drei Funktionen und setzt diese dann in den Grenzpunkten 1 und 2 gleich.
f1(x)=2x²
f1'(x) = 4x

f2(x)=3x-1
f2'(x) = 3

f3(x)=6-2/x
f3'(x) = 2x^(-2)

Dann stellt man die Behauptung an f1'(1)=f2'(2) und kommt zum ergebnis, dass diese ungleich sind und es daher 2 verschiedene Steigungswerte an einem Punkt gibt.
Für f1'(1)= 4
Für f2'(1)= 3
Daher gibt es keine eindeutig definerte Tangente an dem Punkt 1.
Genau das gleiche macht man dann halt an dem Punkt 2.

Jester

Weedjo schrieb:

Man bildet einfach die erste Ableitung aller drei Funktionen und setzt diese dann in den Grenzpunkten 1 und 2 gleich.

Gewagt.
Aber für Schule wohl in Ordnung.

Weedjo

Jester schrieb:

Weedjo schrieb:

Man bildet einfach die erste Ableitung aller drei Funktionen und setzt diese dann in den Grenzpunkten 1 und 2 gleich.

Gewagt.
Aber für Schule wohl in Ordnung.

Wieso gewagt? Ich will doch nur wissen ob die Tangenten, also die Steitung, an den Punkten 1 und 2 gleich ist. Was ist daran gewagt?

SG1

Weedjo schrieb:

Für f1'(1)= 4
Für f2'(2)= 3

Kleiner Tippfehler: An der Stelle muss es natuerlich f2'(1) = 3 heissen.

SG1

Weedjo schrieb:

Jester schrieb:

Weedjo schrieb:

Man bildet einfach die erste Ableitung aller drei Funktionen und setzt diese dann in den Grenzpunkten 1 und 2 gleich.

Gewagt.
Aber für Schule wohl in Ordnung.

Wieso gewagt? Ich will doch nur wissen ob die Tangenten, also die Steitung, an den Punkten 1 und 2 gleich ist. Was ist daran gewagt?

Formal korrekt muesstest Du den links- und den rechtsseitigen Grenzwert der Ableitungen bilden. Da die Ableitungen der einzelnen Teilfunktionen (wenn man sie auf ganz |R betrachtet) aber stetig sind, kannst Du natuerlich auch einfach einsetzen.

Weedjo

Das mit dem Fehler ist korrigiert, danke nochmal.
Und das mit der Stetigkeit werden wir wohl bald durchnehmen, ich gehe aber einfach mal davon aus dass du recht hast