4. Basis vom Vektorraum der Polynomfunktionen

Basis vom Vektorraum der Polynomfunktionen

  • X

    Hi.

    Man kann ja einen Körper als eine Menge und zwei dazugehörige Operationen ansehen. Diese werden im Körper selbst als Addition und Multiplikation bezeichnet, haben doch i.a. überhaupt nichts mit der uns bekannten Addition und Multiplikation zu tun. Soll heißen, man kann willkürliche Operationen wählen, solange es zu keinen Widersprüchen kommt. So sollte es ja auch möglich sein, z.B. für die reellen Zahlen das bekannte + und * miteinander zu vertauschen (so das praktisch * die additive Operation ist und + die multiplikative). Ich weiß, dass das zu Widersprüchen mit dem Distributivgesetz führt, aber darum soll es jetzt erstmal nicht gehen. Meine eigentliche Frage ist: kann ich das auch auf Vektorräume anwenden?
    Ich soll zum Vektorraum aller Polynomfunktionen eine Basis angeben. Das ist recht umständlich, da ich praktisch für jede Potenz von x eine Dimension bzw. einen Vektor benötige. Beispiel:

    ∑i=0nαi⋅xi\sum_{i=0}^{n} \alpha _i \cdot x^i

    Seien αi\alpha _i hier die skalare und xix^i die Vektoren. Für kubische Gleichungen bräuchte ich zum Beispiel 3 Vektoren, damit ich eine Linearkombination ax3+bx2+cx+da x^3 +b x^2 + c x +d erhalten kann (das mein ich mit umständlich). Würde ich nun beide Operationen vertauschen, dann erhielte oberer Ausdruck in "gewohnter" Schreibweise folgende Bedeutung:

    ∏i=0n(αi+x)\prod_{i=0}^n ( \alpha _i +x)

    Nach dem Wurzelsatz von Vieta ließe sich damit auch jedes Polynom darstellen. So würde also nur ein Vektor benötigt, nämlich x. Meine Frage ist nun, ob das formal richtig ist und ich das so machen kann. Oder muss ich mir wirklich für den Vektorraum der n-gradigen Polynome eine n-elementige Basis raussuchen?

    Gruß
    dit Xul

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  • ?

    Eine Basis deines Vektoraums der Polynome vom grad n sind die monome {x0,...,xn}.

    Zum Wurzelsatz von Vieta:
    1. das geht nur über den Complexen Zahlen vgl z.B. (x^2+1)
    2. Im Vektoraum ist keine Multiplikation zwischen den Vektoren erklährt ( ginge also nur z.b. in einer algebra) sondern nur eine Skalarmultiplikation.

    gruss info

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  • B

    Xul schrieb:

    Ich weiß, dass das zu Widersprüchen mit dem Distributivgesetz führt, aber darum soll es jetzt erstmal nicht gehen.

    Ich denk schon dass das wichtig ist, sonst hast du keinen Vektorraum mehr.

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  • S

    Und selbst wenn Du vertauschen koenntest, waere das Ergebnis mitunter ein ANDERER Vektorraum.

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  • J

    Genau, isomorphe Vektorräume haben gleichmächtige Basen. 🙂

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  • C

    Xul schrieb:

    Man kann ja einen Körper als eine Menge und zwei dazugehörige Operationen ansehen. Diese werden im Körper selbst als Addition und Multiplikation bezeichnet, haben doch i.a. überhaupt nichts mit der uns bekannten Addition und Multiplikation zu tun. Soll heißen, man kann willkürliche Operationen wählen, solange es zu keinen Widersprüchen kommt. So sollte es ja auch möglich sein, z.B. für die reellen Zahlen das bekannte + und * miteinander zu vertauschen (so das praktisch * die additive Operation ist und + die multiplikative). Ich weiß, dass das zu Widersprüchen mit dem Distributivgesetz führt, aber darum soll es jetzt erstmal nicht gehen.

    So, wie du dir das vorstellst, klappt es aber nicht mehr - wenn du die Reihenfolge der Operationen vertauscht, hauen einige Körper-Axiome nicht mehr hin (z.B. das Distributivgesetz und die Zusammenhänge zwischen den neutralen Elementen)

    Meine eigentliche Frage ist: kann ich das auch auf Vektorräume anwenden?
    Ich soll zum Vektorraum aller Polynomfunktionen eine Basis angeben. Das ist recht umständlich, da ich praktisch für jede Potenz von x eine Dimension bzw. einen Vektor benötige.

    Ja, der Vektorraum aller Polynome hat eine unendliche Dimension (egal welches n du nimmst, du findest immer n linear unabhängige Polynome)

    ∑i=0nαi⋅xi\sum_{i=0}^{n} \alpha _i \cdot x^i

    Seien αi\alpha _i hier die skalare und xix^i die Vektoren. Für kubische Gleichungen bräuchte ich zum Beispiel 3 Vektoren, damit ich eine Linearkombination erhalten kann (das mein ich mit umständlich). Würde ich nun beide Operationen vertauschen, dann erhielte oberer Ausdruck in "gewohnter" Schreibweise folgende Bedeutung:

    ∏i=0n(αi+x)\prod_{i=0}^n ( \alpha _i +x)

    Nach dem Wurzelsatz von Vieta ließe sich damit auch jedes Polynom darstellen.

    Erstens benötigst du hier immer noch drei Vektoren und zweitens kommst du mit dem Wurzelsatz aus den reellen Zahlen heraus (z.B. x2+1 = (x+i)(x-i))

    Meine Frage ist nun, ob das formal richtig ist und ich das so machen kann.

    Die Frage ist vor allem, ob du verstanden hast, was Vektoren sind (im Raum der reellen Polynome ist ax3+bx2+cx+da x^3 +b x^2 + c x +d ein einzelner Vektor (den du durch seine Koeffizienten a,b,c,d deuten kannst)).

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  • X

    Danke für eure Antworten. Hab mich mittlerweile damit abgefunden, dass die Basis für den VR der Polynomfunktionen unendlich viele Vektoren enthalten muss. Leider war dies wieder eine der Aufgaben, die so offentsichtlich sind, dass man der Richtigkeit der Lösung zweifelt. Naja, den Rest werd ich jetzt wohl alleine hinkriegen.

    CStoll schrieb:

    Die Frage ist vor allem, ob du verstanden hast, was Vektoren sind

    Befinde mich immer noch im Prozess des Verstehens 😉

    Gruß
    dit Xul

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