Kürzeste Hypotenuse

Hallo,

Ich hab da ein Verständnis Problem.

Ich habe eine Gerade mit negativer Steigung im ersten Quadranten. Diese Gerade schneidet ein rechtwinkliges Dreieck aus dem Quadranten. Die Gerade geht durch den festen Punkt P(s;t). Variable Größe ist z=a-s

Welche Länge hat die kürzestmögliche Hypotenuse, die ein so entstehendes Dreieck bestitzen kann.

Hypotenuse? Klar, das kann der Pythagoras dachte ich mir.
Naja, so als Ansatz in Kombi mit dem Strahlensatz bin dann schon mal auf folgendes gekommen:

$(s+z)^2+(\frac{(s+z)*t}{z})^2$

Nun war noch beiläufig die Info gegeben, das es sich um eine extremwert aufgabe handelt. Und da wars dann auch schon wieder vorbei mit meinem latein.

Überlegung stell ich jetzt einfach mal an. Extremwert? Da brauch die ich Ableitung und hau die gegen 0

Meine Frage a) jetzt was bringt mir das? bzw. wie steht das alles in einem Zusammenhang
Und b) wie leitet man sowas ab? Wie sieht das aus, wenns fergtig ist?
Und am besten c) auch noch: Was soll ich hier machen Wie in etwa sieht das Ergebnis auch? Buchstaben nehm ich an sollns werden.

Danke schon mal

CStoll

a) Du hast dort eine Funktion, die von einem Wert abhängt (alles außer z ist gegeben). Und davon mußt du jetzt das Minimum bestimmen.

b) Kettenregel ist recht nützlich für solche Gebilde (du kannst das ganze natürlich auch ausklammern (binomische Formeln) und dann mit (ax²+bx+c)'=2ax+b verrechnen).

c) Dort dürfte am Ende etwas rauskommen, wo das optimale z durch s und t gegeben ist. (bin mir nicht sicher, aber vermutlich erhältst du am Ende ein gleichschenkliches Dreieck)

Hallo

a)Hmm ok...klingt gut und bestätigt meinen Ansatz
b)Kannte ich noch nicht, habs mir aber "ergoogelt"

wenn ich meine Ausgangsgleichung vereinfache erhalte ich erstmal dieses hier:

$(s+z)^2*(1+\frac{t^2}{z^2})$

Einen Stapel schmierzettel und einige Zigaretten später hab ich dann dieses hier erkettet:

f[e]iota[/e](z)=\frac{2*(s+z)*(z^3-st^2)}{z^3}

Schaut das einigermaßen nützlich aus? Was ist der nächste Schritt?

Shinja

Ich hab jetzt nicht kontrolliert ob die Ableitung richtig ist. Wenn doch setz sie, wie du oben selbst gesagt hast, gegen 0, und loes das ganze.

Typ 1: wenn z!=0 laesst sich der Nenner wegmultiplizieren.
Typ 2: loes danach deine Klammern auf. Danach sollte es recht gut weitergehen.