4. Hilfe bei LGS

Hilfe bei LGS

  • ?

    hallo!
    habe da ein lineares gleichungssystem Ax=b als erweiterte matrix:

    11−1123λ31λ32\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & \lambda & 3 \\ 1 & \lambda & 3 & 2\end{array}

    Als Körper dienen die reellen Zahlen...
    Gefragt ist nun, für λ∈R\lambda \in \mathbb{R} gibt es
    i.) genau eine Lösung
    ii.) unendlich viele Lösungen
    iii.) keine Lösung?

    habe nun erstmal mit gauß variablen eliminiert und stehe jetzt bei
    11−11012+λ1004−(2+λ)∗(λ−1)2\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 + \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 4 - (2+\lambda) * (\lambda-1) & 2\end{array}

    also die umformung sollte eigentlich stimmen.. also ich weiß schon theoretisch, wann diese bedingungen gelten. aber wie muss ich nun weitermachen? nach λ\lambda auflösen? oder was? wäre spitze, wenn mir mal jemand das weitere vorgehen erklären könnte 🙂

    mfg,
    bob

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  • L

    Du musst dir mal die Bedingungen genauer anschauen:

    Letzte Zeile der Matrix:

    (4−(2+λ)(λ−1))∗x3=2(4-(2+\lambda)(\lambda-1))*x_3=2

    Wenn λ=2\lambda=2 ist steht da:
    0=2, was natürlich nicht stimmt, also gibt es für λ=2\lambda=2 gar keine Lösung die dein System erfüllt.

    Vielleicht etwas allgemeiner:
    wenn du herausfinden möchtest ob ein LGS keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat musst du die Verträglichkeitsbedingungen überprüfen. Das sind normalerweise die untersten Zeilen in der mit Gauss vereinfachten Matrix. Je nach dem was da steht gibt es unterschiedlich viele Lösungen:
    0=0 => unendlichviele Lösungen
    0=1 o.ä. => gar keine Lösung
    xn=1x_n=1 o.ä., xnx_n ein Parameter des Gleichungssystems => genau eine Lösung

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  • ?

    Vielen Dank erstmal! 🙂
    Aber unten rechts müsste es nicht 22 heißen, sonder α+2\alpha + 2.
    Müsste ich das α\alpha dann noch auf die linke Seite bringen oder kann ich mir trotzdem einfach "einen Wert suchen"?

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  • L

    Wenn du auch einen Parameter auf der rechten Seite hast kannst du die Parameter so wählen, dass da 0=0 steht:

    (4−(2+λ)(λ−1))∗x3=2+α(4-(2+\lambda)(\lambda-1))*x_3=2+\alpha

    Wenn λ=2\lambda=2 und α=−2\alpha=-2 steht da 0=0, was für alle x3x_3 erfüllt ist. Also gibt es da unendlich viele Lösungen.
    Wenn λ=2\lambda=2 und α≠−2\alpha\neq-2 gibt es keine Lösung.

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  • ?

    Ah... Verdammt... Da sollte natürlich auch ein λ\lambda stehen, sorry... Weil dann bekomm ich das nicht mehr so einfach, hin, dass ich unten 0=0 stehen hab... 😞

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  • L

    Ich denke du solltest deine Matrix nochmal sauber mit Gauss vereinfachen. Ich glaube dann kommt rechts 2−λ2-\lambda raus.
    Dann gibt es unendlich viele Lösungen falls λ=2\lambda=2 (0=0). Die quadratische Gleichung hat natürlich auch noch eine 2. Lösung, ich habe hier nur λ=2\lambda=2 als Beispiel genommen, um zu zeigen wie das funktioniert.
    Also: Falls 4−(2+λ)(λ−1)=04-(2+\lambda)(\lambda-1)=0 gibt es entweder unendlich viele (λ=2\lambda=2) oder gar keine Lösung.
    Sonst gibt es genau eine Lösung (die du natürlich noch bestimmen musst 😉 ).

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