Integral: berechnen der Schneehöhe

otze

Frohe Adventszeit euch allen :xmas1:

Wir haben in Mathe letztens eine Übungsaufgabe fürs Abi gerechnet, die Zur Jahreszeit passt. Allerdings ist mir die Interpretation der Lösung nicht ganz klar.

(vereinfachte Aufgabenstellung)
Dank Schneemangel sollen auf dem Auslaufhügel einer Skischanze 1000m³ Schnee zwischen 0 und A gleichmäßig verteilt werden. Die Form des Hügels wird hierbei durch die Funktion f(x) angenähert. Wie hoch ist die Schneehöhe d, wenn der Hügel 40m breit ist?

Skizze:

|\
d| \
 |\ \
 | \ \
 |  \ \
 |   \ \
 |    \ \f1(x)
 | f(x)\ \
 |______\|
0        A

Wenn man die Skizze betrachtet, muss f(x) nach dem Auftragen des Schnees um d nach Oben verschoben sein, also gilt für die Schneedecke: f1(x)=f(x)+d

Da wir die breite des Hügels kennen, ist klar, dass die Fläche zwischen f(x) und f1(x) 1000m³/40m=25m² groß ist.

Also könnte man einfach das Integral berechnen:
$\int\_0^A (f1(x)-f(x))dx = \int\_0^A (f(x)+d-f(x))dx= \int_0^A (d) dx= d*x = 25$
Und hier ist halt bei mir der Knackpunkt erreicht. Nach dem Berechnen des Integrals ist die Schneehöhe auf dem Hügel genauso groß, wie die Schneehöhe auf dem deutlich kürzeren abschnitt zwischen 0 und A. Aber das kann doch nicht sein, oder etwa doch?

//edit wieso steht da am ende des integrals nur 2? ich hab doch 25 eingegeben.

volkard

otze schrieb:

Und hier ist halt bei mir der Knackpunkt erreicht. Nach dem Berechnen des Integrals ist die Schneehöhe auf dem Hügel genauso groß, wie die Schneehöhe auf dem deutlich kürzeren abschnitt zwischen 0 und A. Aber das kann doch nicht sein, oder etwa doch?

leider sehe ich das problem nicht. http://www.gymnasium-kreuzau.de/lehrer/mathe/pyramide/satz_von_cavalieri.htm haste auch bedacht, daß die "schneehöhe" immer senkrecht nach unten gemessen wird?

ness

Ich versteh dein Problem auch nich.
Aber ich denke der Ansatz ist falsch: wie volkard schon sagt, die scheehöhe wird "lokal senkrecht" nach unten gemessen (oder?), also entlang der normalen der funktion. Du misst dagegen "global senkrecht", also in y-Richtung.

otze

Danke für die antworten. Sorry, dass ich mir soviel zeit gelassen hab, musste zuerst nochmal drüber nachdenken, und bin dann verreist. Wintersport ist was schönes

Nun, nach der Überlegungszeit kam ich auch dahinter, dass die Lösung richtig sein muss, mein denkfehler war, dass ich nicht beachtet hab, dass der Schnee auf dem Hügel nicht zwingend ein Rechteck ist, sondern nur ein parallelogramm, und damit die Höhe dieses parallelogramm nicht die Schneehöhe sein muss. Also genau was ihr sagtet: die Schneehöhe wird Senkrecht nach unten gemessen.