Patitielle Integration

Gizm

Hi. Wir haben in der Schule 2 Aufgaben bekommen. Einmal:
∫x * cos x

Die ich aber schon gelöst habe.

Also wir sollen das Integral lösen mit hilfe der Patitiellen Integration...
Nur komme ich bei der 2ten Aufgabe nicht weiter:

∫e^x * cos x
Ich dachte erst das diese Aufgabe eigendlich sehr einfach wäre, da ja e und cos x immer eine Festgesetzte Ableitung bzw. "Hochleitung" haben. Jedoch sagte mein Lehrer shcon das das Falsch ist. Deswegen weiss ich jetzt nich mehr weiter da dieses Thema auch erst neu ist.
Vielleicht könnt ihr mir ein paar Hilfestellungen geben oder ein Paar tipps.
Vielleicht auch die Lösung, dann aba bitte mit erklärung da ich sonst ja nichts davon habe.

Danke schonmal im Vorraus

Gizm

Daniel E.

Gizm schrieb:

[Int e^x cox(x) dx]
Ich dachte erst das diese Aufgabe eigendlich sehr einfach wäre, da ja e und cos x immer eine Festgesetzte Ableitung bzw. "Hochleitung" haben. Jedoch sagte mein Lehrer shcon das das Falsch ist. Deswegen weiss ich jetzt nich mehr weiter da dieses Thema auch erst neu ist.
Vielleicht könnt ihr mir ein paar Hilfestellungen geben oder ein Paar tipps.
Vielleicht auch die Lösung, dann aba bitte mit erklärung da ich sonst ja nichts davon habe.

Rechne doch mal ein paar Schritte partiell vor, und guck dir mal die Terme an, die dabei entstehen. An was erinnern die dich?

Gizm

Mmh. Ja da hab ich aber schon ein Problem xD

Weil cih muss ja am Anfang festlegen was v und was u' ist.
Durch das v soll ja der Therm vereinfacht werden. Nur wenn ich jetzt zB.:
v = e^x nehme, bleibt ja die Ableitung v' auch = e^x.
Wenn ich für v = cos x nehme, vereinfacht sich ja auch nichts, da ja die ableitung von v = cos x:
v'= -sin x ist.

p.s. v und u' deswegen weil wir die Formel:
∫u' * v = u * v - ∫u * v'

bekommen haben.

Bei der ersten Aufgabe zB. hatte ich ja noch ein x allein stehen. Das wurde, wenn ich v = x genommen habe, ja 1. Dadurch hat sich ja was vereinfacht.
Jetzt gibt es ja so einen Weg nicht wirklich. Ausser ich übersehe etwas xD

Daniel E.

Ist schon okay soweit. Mach jetzt nochmal partielle Integration mit dem neuen Integral, vielleicht fällt dir dann was auf.

Gizm

Wenn ich das nochmal INtegriere komm ich wieder auf den anfangstherm xD
Also auf ∫e^x * cos x

Christoph

Gizm schrieb:

Wenn ich das nochmal INtegriere komm ich wieder auf den anfangstherm xD
Also auf ∫e^x * cos x

Der Anfangsterm steht aber nicht einfach so da. Du hast beim partiellen Integrieren ja jedesmal Gleichheitszeichen zwischen vorher/nachher gesetzt.

Wenn du den Anfangsterm und die letzte rechte Seite (die den Anfangsterm wieder enthält) als Gleichung hernimmst, kannst du mit ganz normalen Äquivalenzumformungen nach dem gesuchten Integral auflösen.

Gizm

Ah.. Ja hatten heute morgen Mathe und der Lehrer hat dann die Lösung an die Tafel geschrieben...also war mein Weg ja nicht ganz verkehrt... Als ich dann die weitere Lösung gesehen habe wars natürlich klar.

Aber danke für eure Hilfe!

BarneyGumble

Hallo

Zu deinem Problem:

$\int e^{x} \cos(x) dx$

Lösung:

$\int e^{x} \cos(x) dx = e^{x} \sin(x) - \int e^{x} \sin(x) dx$ (1. Partielle Integration)

$\int e^{x} \cos(x) dx = e^{x} \sin(x) - (e^{x} (-\cos(x)) - \int e^{x} (-\cos(x)) dx)$ (2. Partielle Integration)

$\int e^{x} \cos(x) dx = e^{x} \sin(x) + e^{x} \cos(x) - \int e^{x} \cos(x) dx$

$2\int e^{x} \cos(x) dx = e^{x} \sin(x) + e^{x} \cos(x)$

$\underline{\underline{\int e^{x} \cos(x) dx = \frac{e^{x} \sin(x) + e^{x} \cos(x)}{2}}}$

Ich habe meine schnelle Ausführung nur kurz überflogen! Entschuldigung für eventl. Fehler!