Homomorphismen

hi,

hab mal ne verständnisfrage zu algebra-homomorphismen:
Wenn ich 2 Algebren G1=<A, +> und G2=<B, *> habe und nen Homomorphismus h: A-> B, dann müssen die 2 Algebren nicht die gleiche Struktur haben.

Übertragen sich da durch den Homomorphismus die Eigenschaften der Algebra G1 auf G2 (oder umgekehrt?) Also wenn G1 zb assoziativ is und nen neutrales Element hat, werden diese Eigenschaften dann nach G2 übertragen? Oder von G2 nach G1? Oder garnicht?
Oder werden nur bei ISOmorphismen die Strukturen übertragen?

CStoll

Afaik kannst du einen Homomorphismus nur dann definieren, wenn die beteiligten Mengen schon die selbe Struktur haben (d.h. wenn G1 und G2 verschiedene Eigenschaften haben, kannst du sie nicht miteinander in Deckung bringen).

Ich kann ohne Probleme nen Homomorphis zwischen 2 unterschiedlichen Strukturen bauen, zB Halbgruppe <N,+> und Gruppe <Q\{0},*> mit h:N->Q\{0}, n->1/1.

CStoll

Na gut, dann sagen wir es so: Durch den Homomorphismus kann die Struktur keine Eigenschaften verlieren (du kannst eine nicht-abelsche Gruppe auf eine abelsche Gruppe abbilden, aber nicht umgekehrt). Schließlich müssen alle Operationen der Ursprungsstruktur auch in der Zielstruktur gelten (also z.B. "h(x+y)=h(x)*h(y)").

Jester

CStoll schrieb:

Na gut, dann sagen wir es so: Durch den Homomorphismus kann die Struktur keine Eigenschaften verlieren (du kannst eine nicht-abelsche Gruppe auf eine abelsche Gruppe abbilden, aber nicht umgekehrt).

Klar kann man Homomorphismen von abelschen Gruppen in nicht abelsche angeben. Das Bild muß nur ne abelsche Untergruppe sein.

@streichelz00: das mit der Halbgruppe und der Gruppe klappt aber nur, weil ne Gruppe inbesondere ne Halbgruppe ist.

pasti

Diese Diskussion hatten wir doch schoneinmal. Ziemlich lang und breit.

http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-t-is-161656-and-start-is-0-and-postdays-is-0-and-postorder-is-asc-and-highlight-is-.html

MamboKurt

man kann eine abelsche gruppe schon in eine nichtabelsche gruppe abbilden. der homomorphismus muss ja nicht surjektiv sein (s. Jester, einfach mal die triviale gruppe in eine nichtablesche gruppe abbilden). das bild muss noch nicht einmal im zentrum der der zielgruppe sein(kein beispiel zur hand).
wenn der homomorphismus surjektiv ist, dann übertragen sich die eigenschaften, wie kommutativität:
f:G1->G2
Für alle c, d ε G2 ex a, b ε G1 mit f(a) = c, f(b) = d
=> c*d = f(a)*f(b) = f(a*b) = f(b*a) = f(b)*f(a) = d*c

wenn die abbildung injektiv ist erbt G1 die eigenschaften von G2:
g=f|(f(G1) <= einschränkung auf bild (f(G1) untergruppe)
=>g ist bijektiv und daher ein isomorphismus

Jester

pasti schrieb:

Diese Diskussion hatten wir doch schoneinmal. Ziemlich lang und breit.

http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-t-is-161656-and-start-is-0-and-postdays-is-0-and-postorder-is-asc-and-highlight-is-.html

Die Disukussion hat sich damals aber weniger mit den Eigenschaften auseinandergesetzt.

Hm kann vllt jemand mal kurz zusammenfassend schreiben, was nun genau ein Homomorphismus zwischen 2 Algebren G1 und G2 mit den Eigenschaften macht??

pasti

@Jester: Ja, aber beim Wort "Struktur" blinkten bei mir schon alle Warnlampen.

@TS: Aus deiner Notation am Anfang schliesse ich, dass Du nur an Algebren mit einer einzigen Verknüpfung interessiert bist. Ist das richtig?

Jester

streichelz00 schrieb:

Hm kann vllt jemand mal kurz zusammenfassend schreiben, was nun genau ein Homomorphismus zwischen 2 Algebren G1 und G2 mit den Eigenschaften macht??

Das hängt von vielen verschiedenen Dingen ab, nicht zuletzt auch von den Eigenschaften. Die Frage kann man so pauschal wohl nicht beantworten.

In dem geposteten Link hat Jester in seinem (etwas arroganten) Posting folgendes geschrieben:
[quote=Jester]
Gut dass Du's nochmal wiederholst.

Auch für Dich nochmal: Mit Struktur ist beispielsweise Gruppe gemeint, oder Körper oder Ring oder denk Dir was. Ein Homomorphismus ist insofern Strukturerhaltend, als daß er eine Gruppe wieder auf eine Gruppe abbildet (und das in verträglicher weise), einen Körper auf einen Körper etc. In diesem Sinne erhält der die Struktur (nicht die Feinheiten davon, aber die grundlegenden Axiome). Also kann man in diesem Sinne (und so wird es eigentlich auch immer verstanden) sagen, daß Homomorphismen strukturerhaltend sind. Pedanten dürfen auch gerne strukturverträglich sagen, sollten aber den Mund nicht so voll nehmen und sagen strukturerhaltend sei völlig falsch.

Btw hat mein Prof heute auch strukturerhaltend gesagt. Ist er nun dumm?[/quote]
Er schreibt, er bildet eine Gruppe wieder auf eine Gruppe ab, einen Körper auf einen Körper usw. Aber das muss doch gerade NICHT der Fall sein. Sonst würde man ihn ja nicht als Abbildung zwischen den Trägermengen zweier ALGEBREN definiere.

@pasti: nein, die anzahl der operatoren ist für mich unerheblich. Die algebren müssen ja lediglich die gleiche signatur haben. Ich habe lediglich algebren mit einem operator genommen, da sie am einfachsten sind für beispiele.

Jester

streichelz00 schrieb:

Er schreibt, er bildet eine Gruppe wieder auf eine Gruppe ab, einen Körper auf einen Körper usw. Aber das muss doch gerade NICHT der Fall sein.

Als Homomorphismus von Gruppen bzw. Körpern eben schon. Bildest Du ne Gruppe auf ne Halbgruppe ab, dann ist die Abbildung eben kein Gruppenhomomorphismus, sondern nur ein Homomorphismus von Halbgruppen. Du "vergißt" also, dass die Gruppe ne Gruppe war und schaust sie nur noch als Halbgruppe an und betrachtest dann den Homomorphismus.