Die Welt in Mathe

THX 1138

Zwischeneinwurf:
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Ist die Katze nun tot oder nicht?

XFame

askfn aöskt hwatem d,sf a schrieb:

XFame schrieb:

Gut, dann klaer mich auf.

annahme: alles lässt sich berechnen.
* fall 1: es gibt zufall
das halteproblem existiert -> annahme falsch
* fall 2: es gibt keinen zufall
das halteproblem existiert -> annahme falsch

Hmm sorry, aber ich sehe nicht, warum aus "das halteproblem existiert" in beiden faellen ein Widerspruch resultiert.

SG1

Das Halteproblem ist nicht entscheidbar. Mit anderen Worten: die charakteristische Funktion des Halteproblems ist nicht berechenbar. Also gibt es etwas, das nicht berechenbar ist.

XFame

Nur weil man etwas nicht entscheiden kann, muss es doch noch lange nicht zufaellig sein.

Daniel E.

XFame schrieb:

Nur weil man etwas nicht entscheiden kann, muss es doch noch lange nicht zufaellig sein.

Die Aussage war: "Allerdings bin ich der Meinung, dass sich alles in irgendeiner Weise berechnen lässt, [bla]".

Da es ein formales Problem gibt, das sich nicht berechnen läßt, ist die Aussage falsch ...

SG1 schrieb:

Das Halteproblem ist nicht entscheidbar. Mit anderen Worten: die charakteristische Funktion des Halteproblems ist nicht berechenbar. Also gibt es etwas, das nicht berechenbar ist.

Gilt doch aber nur für Turingmaschinen. Oder denkst du immer noch darüber nach?

.filmor

maRKus23 schrieb:

Ist 1+1=2? 1+1 könnte doch auch 3 sein. Hätte man es seiner Zeit so definiert.

Hihi, das erinnert mich an mein Analysis-Tutorium. Da hat der Tutor darüber erzählt, wie die Philosophen über die Mathematik als Konstrukt des Menschen reden und solche Sprüche fallen lassen wie "1 + 1 ist immer 2!" und er sich dabei dachte "Aber nicht in $\mathbb{F}_2$ ..."

Ausgerechnet wenn man den längsten Beitrag schreibt, schließt man versehentlich das Fenster.

Also nochmal......

Es ist einerseits schon erstaunlich dass, wie Galilei sagte, die Mathematik die Sprache der Natur ist. Andererseits ist vieles in der Mathematik gerade so gemacht, dass es passt.
Es mögen einem nur die "elementaren" Funktionen ins Auge fallen, wie die Grundrechenarten und vielleicht e^x, sin, cos, log... aber eigentlich ist der Sinus genauso elementar wie die Besselfunktion oder die Umkehrfunktion zu f(x)=x*e^x. Die lassen sich alle nicht hinschreiben, höchstens als Reihenentwicklung.
Die einen kommen halt häufiger vor, die anderen nicht. Formeln wie E=mc² sind einfahc, weil der Zusammenhang einfach ist: Wenn ich die Masse verdopple, verdoppelt sich die zugehörige Energie. Im richtigen Einheitensystem wird die Formel sogar zu E=m.

Zudem können einfache Probleme schnell kompliziert werden. Allein ein Fadenpendel, das eine etwas größere Auslenkung als 10° hat, lässt sich analytisch nicht beschreiben. Man stößt auf elliptische Integrale, die man nicht lösen kann (höchstens wieder als Reihe). So kann man zwar klassisch alle Probleme zumindest numerisch lösen, aber schön sind die Formeln dafür auch nicht mehr.

Noch schlimmer wird es in der Quantenmechanik... alleine die Schrödingergleichung, die absolute Grundlage ist:
$\mathrm{i}\cdot\hbar\cdot\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) \;=\; - \frac{\hbar^2}{2m}\cdot\nabla^2\psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf{r},t)\cdot\psi(\mathbf{r},t)$
Das sieht schon nicht mehr so schön aus, wobei da ja auch wieder viele Abkürzungen drinstecken. Dennoch ist es natürlich erstaunlich, dass die Welt einer solchen Formel "gehorcht".

Wo wir aber schon bei der Quantenmechanik sind, noch was zu den Wahrscheinlichkeiten... für etwas anschaulicher als die Unschärfrelation halte ich den Tunneleffekt. Eigentlich dürften die Wasserstoffkerne in der Sonne nicht fusionieren, da ihre Energie nicht ausreicht, um die elektromagnetische Kraft zu überwinden (gleichartige Ladungen stoßen sich ja ab) um aufgrund der starken Kernkraft zu Heliumkernen zusammengehalten zu werden.
Wegen des Tunneleffekts gibt es aber eine geringe Wahrscheinlichkeit, dass sie es doch tun; wie eine Kugel, die zuwenig Energie hat, um über einen Berg zu rollen, aber dennoch plötzlich auf der anderen Seite auftaucht.

Der Zufall in der Natur sorgt also dafür, dass die Sonne scheint. Und außerdem lässt sich somit natürlich keine Entwicklung eines Systems vorhersagen, selbst wenn man absolut jeden Parameter kennen würde.

Gregor

maRKus23 schrieb:

Ein kluger Mann sagte mal

Man muss die Welt nicht verstehen, man muss sich nur darin zurecht finden.

Einstein-Zitat, heh?

Ich sehe das eigentlich anders. Wer die Welt nicht durch mathematische Modelle begreifen kann, ist auf andere Erklärungen angewiesen. Dann steht man zum Beispiel nach der Flutkatastrophe vor ein paar Jahren da und sagt, dass die Tatsache, dass massiv gebaute Moscheen stehen geblieben sind, irgendwelche Holzhütten aber nicht, darauf zurückzuführen ist, dass die Menschen in den Holzhütten nicht gläubig genug waren. Soetwas wurde damals gesagt. Ich halte so eine Weltsicht nicht für erstrebenswert. Mit dieser Weltsicht gäbe es keinen Fortschritt und wir wären immer noch im Mittelalter. Ganz abgesehen davon, dass so eine Unaufgeklärtheit einen unmündig macht.

Ich halte ein wissenschaftliches Weltbild deshalb für sehr wichtig. Und das bezieht sich in einem gewissen Rahmen auch auf jeden einzelnen Bürger. So ein Weltbild stellt eine enormer kulturelle Errungenschaft dar.

MamboKurt

mehr oder minder offtopic:

Gregor schrieb:

Ich sehe das eigentlich anders. Wer die Welt nicht durch mathematische Modelle begreifen kann, ist auf andere Erklärungen angewiesen. Dann steht man zum Beispiel nach der Flutkatastrophe vor ein paar Jahren da und sagt, dass die Tatsache, dass massiv gebaute Moscheen stehen geblieben sind, irgendwelche Holzhütten aber nicht, darauf zurückzuführen ist, dass die Menschen in den Holzhütten nicht gläubig genug waren. Soetwas wurde damals gesagt. Ich halte so eine Weltsicht nicht für erstrebenswert. Mit dieser Weltsicht gäbe es keinen Fortschritt und wir wären immer noch im Mittelalter. Ganz abgesehen davon, dass so eine Unaufgeklärtheit einen unmündig macht.

Ich halte ein wissenschaftliches Weltbild deshalb für sehr wichtig. Und das bezieht sich in einem gewissen Rahmen auch auf jeden einzelnen Bürger. So ein Weltbild stellt eine enormer kulturelle Errungenschaft dar.

es gibt aber auch leute, die nicht unbedingt auf fotschritt aus sind und auch nicht unbedingt an die wissenschaft glauben wollen. und ob das alles eine kulturelle errungenschaft darstellt ist auch ansichtssache. (unmündigkeit stört einen auch nur, wenn man weiß, dass man unmündig is)
es lebe der fortschritt

CStoll

Nachgesungen schrieb:

SG1 schrieb:

Das Halteproblem ist nicht entscheidbar. Mit anderen Worten: die charakteristische Funktion des Halteproblems ist nicht berechenbar. Also gibt es etwas, das nicht berechenbar ist.

Gilt doch aber nur für Turingmaschinen. Oder denkst du immer noch darüber nach?

Nein, das gilt für jedes halbwegs verwendbare Rechenmodell, das du aufbauen kannst - such mal nach Begriffen wie "Church-Turing-These" oder "Gödelscher Unvollständigkeitssatz".

Fakt ist, daß du für jedes halbwegs mächtiges mathematisches System Aussagen finden kannst, die du in diesem System weder beweisen noch widerlegen kannst. (ich bin mir nicht ganz sicher, wo die Grenze zu ziehen ist, aber auf jeden Fall gehört das Axiomensystem der ganzen Zahlen schon in diese Kategorie - und damit alles, was darauf aufbaut)

@Gregor: Für jemanden, der sich damit auskennt, ist die Mathematik genauso unbegreifbar wie der christliche Glaube an Gott - und die Mathematiker sind sich selbst nicht mal einig, welches ihrer vielen Axiomensysteme die "reale Welt" beschreibt (wenn sie sich überhaupt noch darüber Gedanken machen).

maRKus23

Gregor schrieb:

maRKus23 schrieb:

Ein kluger Mann sagte mal

Man muss die Welt nicht verstehen, man muss sich nur darin zurecht finden.

Einstein-Zitat, heh?

Ich sehe das eigentlich anders. Wer die Welt nicht durch mathematische Modelle begreifen kann, ist auf andere Erklärungen angewiesen.

Ich glaube du hast dieses Zitat falsch verstanden!?!
Mit diesem Zitat von Einstein ist lediglich gemeint das man mittels mathematischen und physikalischen Gesetzen die Welt beschreibt, also ein Modell betrachtet, mit dem man sich in der Welt zurecht findet.

Wir werden nie genau wissen warum nun ein Apfel immer nach unten fällt, doch wir haben dafür 2 Modelle um in der Welt mit der Schwerkraft klar zu kommen, Newtons Gravitationsgesetz und Einsteins Raum-Zeit-Krümmung.

EinPhysiker schrieb:

Wo wir aber schon bei der Quantenmechanik sind, noch was zu den Wahrscheinlichkeiten... für etwas anschaulicher als die Unschärfrelation halte ich den Tunneleffekt. Eigentlich dürften die Wasserstoffkerne in der Sonne nicht fusionieren, da ihre Energie nicht ausreicht, um die elektromagnetische Kraft zu überwinden (gleichartige Ladungen stoßen sich ja ab) um aufgrund der starken Kernkraft zu Heliumkernen zusammengehalten zu werden.
Wegen des Tunneleffekts gibt es aber eine geringe Wahrscheinlichkeit, dass sie es doch tun;

Ist das jetzt Zufall oder kennen wir den Grund für den Tunneleffekt nicht? Wissen wir überhaupt warum sich gleichartige Ladungen abstoßen? (so genau kenn ich mich da nicht aus)

Beweist das Halteproblem, dass unsere Welt nicht berechenbar ist? Das Halteproblem tritt ja nur dann auf, wenn es etwas zu beweisen bzw. eine Wenn/Dann Frage gibt. Wenn es keine Möglichkeiten, sondern nur genau ein Ergebnis bei allen Vorgängen in unserem Universum gibt, dann ist die Welt auch berechenbar.

Es ist Zufall. Mittels der Bellschen Ungleichung konnte gezeigt werden, dass es in der Quantenmechanik keine verborgenen Parameter gibt.

Warum sich gleichartige Ladungen abstoßen, ist nicht bekannt. Für die Physik auch uninteressant... ist halt so.

EinPhysiker schrieb:

Es ist Zufall. Mittels der Bellschen Ungleichung konnte gezeigt werden, dass es in der Quantenmechanik keine verborgenen Parameter gibt.

Warum sich gleichartige Ladungen abstoßen, ist nicht bekannt. Für die Physik auch uninteressant... ist halt so.

Überzeugt mich jetzt nicht wirklich. Wir wissen nicht warum sie sich abstoßen, aber wir wissen, dass es Zufall ist, dass sie es manchmal nicht tun. Vielleicht würden wir den Grund für dne Zufall kennen, wenn wir wüssten warum sie sich abstoßen. Naja,...

CStoll

gedanken schrieb:

Beweist das Halteproblem, dass unsere Welt nicht berechenbar ist? Das Halteproblem tritt ja nur dann auf, wenn es etwas zu beweisen bzw. eine Wenn/Dann Frage gibt. Wenn es keine Möglichkeiten, sondern nur genau ein Ergebnis bei allen Vorgängen in unserem Universum gibt, dann ist die Welt auch berechenbar.

Das Halteproblem ist ja nur eines von vielen, für das es keine Lösung gibt/geben kann. Laut Gödel kannst du in jedem (widerspruchsfreien) Axiomensystem^* Aussagen finden, die du weder beweisen noch widerlegen kannst - also kannst du letztlich auch überall Probleme finden, die du nicht berechnen kannst.

^* Und wenn du ein mathematisches Modell der Realität entwickelst, baust du letztendlich auf einem (womöglich willkürlich gewählten) Axiomensystem auf - also findest du in deinem Modell auch unbeweisbare Aussagen und nicht erklärbare Phänomene.

Nunja, die Experimente zeigen, dass es keine verborgene Parameter gibt und dass sich gleichartige Ladungen abstoßen.
Warum dem so ist, zeigt kein Experiment der Welt.

Was das Halteproblem und Gödel angeht: Hierbei geht es um Sätze wie "Dieser Satz ist nicht beweisbar".
Angenommen, man könnte den Satz beweisen. Dann wäre er wahr. Und er wäre somit nicht beweisbar. Widerspruch.

Damit habe ich bewiesen, dass man den Satz nicht beweisen kann. Es ist also vielmehr ein Problem der Logik, anstatt der Welt. Welche Logik aber wirklich vorherrscht, ist immernoch eine offene Frage.

CStoll

EinPhysiker schrieb:

Was das Halteproblem und Gödel angeht: Hierbei geht es um Sätze wie "Dieser Satz ist nicht beweisbar".
Angenommen, man könnte den Satz beweisen. Dann wäre er wahr. Und er wäre somit nicht beweisbar. Widerspruch.

Damit habe ich bewiesen, dass man den Satz nicht beweisen kann.

Gut zusammengefasst Der Witz ist nur, daß du damit auch den Satz selber bewiesen hast (schließlich behauptet er ja gerade, daß man ihn nicht beweisen kann) - und dadurch bricht dein ganzer Beweis in sich zusammen.

(und außerdem ist das triviale "ich bin unbeweisbar" nur die Spitze des Eisbergs - es wurden seitdem auch bedeutende Aussagen gefunden die weder beweis- noch widerlegbar mit den vorhandenen Mitteln sind (z.B. Kontinuumshypothese, Auswahlaxiom,...)

Es ist also vielmehr ein Problem der Logik, anstatt der Welt. Welche Logik aber wirklich vorherrscht, ist immernoch eine offene Frage.

Aber irgendeiner Logik muß die "reale Welt" ja folgen. Also gibt es ein mathematisches Modell, daß die Welt exakt beschreiben kann - und wie immer dieses Modell aussieht, es wird (zurück zu Gödel) entweder widersprüchliche oder unbeweisbare Aussagen enthalten.

CStoll schrieb:

Es ist also vielmehr ein Problem der Logik, anstatt der Welt. Welche Logik aber wirklich vorherrscht, ist immernoch eine offene Frage.

Aber irgendeiner Logik muß die "reale Welt" ja folgen. Also gibt es ein mathematisches Modell, daß die Welt exakt beschreiben kann - und wie immer dieses Modell aussieht, es wird (zurück zu Gödel) entweder widersprüchliche oder unbeweisbare Aussagen enthalten.

Na und, auch wenn das Modell unbeweisbare Aussagen enthält, bedeutet das ja nicht, das nicht alles was in unserem Universum passiert berechenbar ist. Die nicht lösbaren Aussagen müssen ja nicht unbedingt zur Berechung der Vorgänge auf der Welt benötigt werden.

EinPhysiker schrieb:

Nunja, die Experimente zeigen...

nonsence. Die experimente bestaetigen das Model der Quantenmechanik genauso wie sie die Bohmsche mechanik bestatigen.

http://de.wikipedia.org/wiki/De-Broglie-Bohm-Theorie

J.S. Bell [1] gab folgende Liste von schlechten W?ortern zur Theoriebildung:
system
apparatus
environment
microscopic, macroscopic
reversible, irreversible
observable
information
measurement.
?Uber diese Begriffe ist Quantenmechanik. Wie konnte diese Theorie – als phy-
sikalische Theorie – bestehen?

siehe auch http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~duerr/KatzeWS01.pdf