[gelöst] zwei Zahlen, deren Produkt 40 und deren Summe 10 sei

Hallo zusammen,

Wikipedia schrieb:

In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501–1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist.

Ich habe versucht das Ganze einmal nachzuvollziehen, stoße aber bei der Probe auf Probleme.

(i) 2x = 10 <=> x = 10-x
(ii) x^2 = 40
(i) u. (ii) x(10-x) = 40 <=> x^2-10x+40 = 0

p=-10 ; q=40
D=p^2/4 -q = 100/4 - 40 = -15
x1,2 = 5 +- \|-15 = 5 +- 15i
L={5 +- 15i}

Probe:

(5+15i) [10 - (5+15i)] = 40
25-225i^2 = 40
25 + 225 = 40
250 = 40

Das Ergebnis 250=40 bei der Probe ist mir unklar. Ist der Schritt 5+-\|-15=5+-15i korrekt?

Wäre nett, wenn mir jemand das ein wenig erläutern könnte... Oder den Fehler korrigieren würde?

Grüße
Martin

Jester

Mit 2x=10 lässt Du nur noch 5 als lösung zu. Aber die Aufgabenstellung sagt doch zwei Zahlen, also

x+y = 10,
x*y=40.

Mit der ersten Gleichung kannste natürlich y durch 10-x ersetzen.

Vielen Dank erstmal Jester,

wenn ich nun die erste und zweite Gleichung (i) und (ii) wie folgt verändere,
komme ich dennoch wieder auf die Lösungsmenge L={5 +- 15i}; ferner ist das Ergebnis der Probe immer noch 250=40.

(i) x+y = 10 <=> y = 10-x
(ii) x*y = 40 <=> x*(10-x) = 40 <=> x^2-10x+40 = 0

...

L={5 +- 15i}

Wieso besagt die Probe, dass 5+-15i nicht die Lösung dieser Gleichung ist?

Grüße
Martin

scrub

Tip: 15 ist ungleich √15

x1,2=5 +- \|-15 = 5 +- \|15 i
L={5 +- \|15 i}

Nun stimmt auch die Probe:

p: (5+\|15 i) [10 - (5+\|15 i)] = 40
<=> 40 -5\|15 i +10\|15 i -5\|15 i = 40
<=> 40 = 40

p=W

Vielen Dank für die Antworten.

Grüße
Martin