4. vollständige induktion

vollständige induktion

  • S

    HI,

    brauche dringend hilfe. Bin zum einen kein mathematiker und habe leider seit jahren keine vollständige induktion mehr gemacht und leider keine ahnung wie ich folgende gleichung beweisen/widerlegen soll:

    ∑i=0d−1(n−1)∗ni=nd−1,∀n>1\sum_{i=0}^{d-1}(n-1)*n^i=n^d-1, \forall n>1

    n und d sind variabel. wie zum henker soll ich das beweisen, bzw. widerlegen? mir fehlt einfach jede idee. danke schonml für eure hilfe.

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  • J

    Für d=1 zeigen, dann Induktion d->d+1.

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  • M

    überleg mal wie die rechte seite bei d-> d+1 aussehen muss...
    dann musste nur noch umformen, dass es offensichtilier wird..

    btw, sollte man nciht besser bei d=0 anfangen?

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  • T

    1. Induktionsannahme:
      Formel gilt für d=1, da:
      (n−1)∗n0=n1−1⇔n−1=n−1(n-1)*n^0 = n^1-1 \Leftrightarrow n-1 = n-1

    2. Induktionsschluss: A(n)→A(n+1)A(n) \rightarrow A(n+1)

    \sum_{i=0}^{d}(n-1)\*n^i = \sum_{i=0}^{d-1}(n-1)\*n^i + (n-1)*n^d = n^d-1 + (n-1)*n^d = n^{d+1}-1

    Aus 1 und 2 folgt, dass die Formel für alle d>=1 gilt.

    edit: ich krieg das mit dem verdammten latex net hin. klickt einfach auf zitieren und schaut euch den latexcode direkt an. sry^^

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  • J

    Dein Induktionsschluß ist leicht irreführend beschriftet: A(d)->A(d+1) wäre besser.

    ot: statt * in latex lieber \cdot verwenden. Sieht schöner aus.

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  • S

    super, danke für die hilfe. Hätte aber trotzdem noch ein paar verständnisfragen, welche, fürchte ich, allgemeiner natur bzgl. vollständiger induktion sind.

    Die Formel hat ja zwei veränderliche, n und d, warum reicht es aus den schritt von d auf d+1 zu zeigen? oder muss auch n->n+1 bewiesen werden?

    0
  • B

    Du bist nicht gezwungen, Induktion zu benutzen, das ist nur ein Beweismittel von vielen. Hier ergibt es sich eben so, dass du bei der Induktion nach d in beiden Teilbeweisen die jeweilige Aussage direkt für alle n beweisen kannst.

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  • ?

    snuuts schrieb:

    ...verständnisfragen...allgemeiner natur bzgl. vollständiger induktion sind.

    Die Formel hat ja zwei veränderliche, n und d, warum reicht es aus den schritt von d auf d+1 zu zeigen? oder muss auch n->n+1 bewiesen werden?

    Doppelte Induktion nach n und m verläuft i.A. nach den folgenden Schemata:
    Entweder Inuktion nach n und im IA und IS eine weitere nach m,
    oder i.d.R. einfacher nach folgendem Prinzip:

    A(1,1)
    IS(n,m)->(n, m+1) und
    IS(n,m)->(n+1, m)

    Bei Letzterer ist meiner Meinung nach auch leichter einzusehen, warum so eine
    induktive Aussage vollständig bewiesen wird.

    Jockel

    0
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