Epsilon-Delta-kriterium
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Hallo, ich hab irgendwie ein grundlegendes Verständnisproblem bezüglich des ε-δ-Kriteriums der Stetigkeit:
Das Kriterium lautet ja folgendermaßen:
ƒ: D -> IR ist stetig in x_0 € D genau dann, wenn zu jedem ε>0 ein δ>0 existiert, sodass für alle x € D mit |x-x_0|<δ gilt: |ƒ(x)-ƒ(x_0)|<ε
Ich verstehe nicht warum dass Stetigkeit definiert, denn das ε und δ hängen doch eigentlich gar nicht von einander ab, sodass zu einem sehr kleinen δ ein sehr großes ε existieren kann.
Was übersehe/missverstehe ich da?Danke schon mal
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konvi schrieb:
zu jedem ε>0 ein δ>0
[...]
zu einem sehr kleinen δ ein sehr großes εQuantoren vertauschen passiert auch Professoren ...
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konvi schrieb:
Ich verstehe nicht warum dass Stetigkeit definiert, denn das ε und δ hängen doch eigentlich gar nicht von einander ab, sodass zu einem sehr kleinen δ ein sehr großes ε existieren kann.
Im Allgemeinen haengt das δ schon vom ε ab.
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XFame schrieb:
konvi schrieb:
Ich verstehe nicht warum dass Stetigkeit definiert, denn das ε und δ hängen doch eigentlich gar nicht von einander ab, sodass zu einem sehr kleinen δ ein sehr großes ε existieren kann.
Im Allgemeinen haengt das δ schon vom ε ab.
Die Signum-Funktion ist ja in der Stelle x_0=0 nicht stetig, aber wenn ich das Kriterium drauf anwende, dann erhalte ich doch z.B. wenn ich ε=2 wähle:
ε=2
x_0=0
x=0,999999999
|x_0-x|=0,000000001
|ƒ(x_0)-ƒ(x)|=1
δ=0,000000002Wo hängt denn nun das δ schon vom ε ab?
Das Kriterium wär doch nun erfüllt aber trotzdem ist die Funktion in x_0=0 nicht stetig?! Ich steh echt irgendwie total aufm Schlauch
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es muss fuer alle epsilon gelten, also auch fuer epsilon=0.0000000000001 und noch kleiner.
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Gerade bei der Signumfunktion reicht epsilon=1/3.
Wie schon gesagt, muss es für alle epsilon>0 gelten. Für alle epsilon < 1/2 kann man allerdings für die Signumfunktion bei x=0 kein delta>0 finden.
Es reicht jedoch, ein einziges epsilon>0 zu finden, was mit epsilon = 1/3 getan ist.
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Etwas flappsig kannst du dir das Kriterium wie folgt übersetzen: Wenn ich unten (an den x-Werten) nur ein ganz wenig wackel, darf es oben (an den Funktionswerten) auch nur ein ganz bischen wackeln...