Normalteiler
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Hallo alle zusammen,
könnt ihr mir bei einer Aufgabe helfen?
Sei K ein Körper.
Zeigen Sie: SL(n,K) := {A e GL(n,K); detA = 1} ist ein Normalteiler von
GL(n,K).meine Überlegung:
wenn ich zeige, dass SL ´ne untergruppe von GL ist und dazu noch gilt,
dass gU = Ug, dann ist gezeigt, dass SL ein Normalteiler ist.
Untergruppe habe ich gezeigt, aber wie zeige ich die kommutativität?Was versteht man überhaupt genau unter einem Normalteiler?
Wäre echt super, wenn ihr mir helfen könnt.
Liebe Grüße
Dola
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Ja, Du mußt gU = Ug zeigen. Das ist genau die Definition eines Normalteilers. Diese Forderung sichert genau, dass Du die Faktorgruppe bilden kannst. Allerdings ist kommutativ vielleicht nicht das richtige Wort um das zu beschreiben. Tatsächlich ist die Verknüpfung hier, nämlich die Matrixmultiplikation nicht kommutativ. Die Mengen gU und Ug sind aber trotzdem gleich.
Du mußt folgendes machen:
g ist beliebige invertierbare Matrix. u ein Element der Untergruppe SL(n,K). Zeigen mußt Du: das Element gu lässt sich auch als u'g schreiben mit u' ein beliebiges Element aus SL(n,K).
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mein tip:
det(AB) = det(A)*det(B)
und gU = Ug <=> gU(g^-1) = U
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Vielen Dank euch beiden.
Eines ist mir aber noch nicht ganz klar:
"Zeigen mußt Du: das Element gu lässt sich auch als u'g schreiben mit u' ein beliebiges Element aus SL(n,K)."
muss beim Normalteiler nicht zweimal dasselbe Element verwendet werden?
Also: gU = Ug mit g e G und u e U, wobei auf beiden Seiten dasselbe Element u gebraucht wird?!Habt ihr ein Beispiel für einen Normalteiler, bei dem keine Kommutativität vorliegt?
Könnt ihr mir nochmals helfen? hab noch zwei Fragen, deren Antwort mir noch ein Rätsel ist:
i) Wie viele Elemente besitzt SL(n,K), wenn K = endlicher Körper mit q Elementen ist?
ii) Wie kann ich die Ordnung eines Normalteilers berechnen?Wäre echt super, wenn ihr mir nochmals helfen könnt.
Vielen lieben Dank.
Grüßle
Dola
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Genau, Kommutativität wird nicht gefordert, das wäre viel zu viel. gU ist ja eigentlich nur ne Kurzschreibweise für {gu | u in U}. Und die Normalteilereigenschaft sagt, dass die Mengen gU und Ug gleich sind, und zwar als Mengen. Das heißt aber nicht, dass für ein Element dieser Menge jeweils das gleiche Element aus u benutzt werden muß. Ein gutes Beispiel sind ja gerade Deine Matrizen. Die sind nicht kommutativ und auch mit Elementen aus SL(n,K) kommutiert nicht jede Matrix.
Wie habt ihr denn die Ordnung eines Normalteilers definiert? Anzahl der Elemente? Oder was anderes?
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Wir haben die Ordung eines Normalteilers nicht explizit definiert. Hatten nur, als wir Gruppen durchmachten die Ordnungsdefinition:
sei g e G, dann gibt n die ordnung an:
g^n = e
Ansonsten kenne ich nur noch die Ordnung bei Mengen im Sinne der Kardinaliät.
Ich hab hier mal die gesamte Aufgabe:
Sei K ein Körper.
a) Zeigen Sie: SL(n,K) := {A e GL(n,K); detA = 1} ist ein Normalteiler von GL(n,K).
b) Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Wieviele Elemente besitzt SL(n,K)?
c) Sei Z = {A e GL(n,K); A·X = X·A für alle X e GL(n,K)}.
Zeigen Sie Z geschnitten SL(n,K) ist Normalteiler von GL(n,K) und berechnen Sie die Ordnung des Normalteilers, wenn K ein endlicher Körper mit q Elementen ist.Woher weiß ich, wie viele Elemente SL(n,K) besitzt?
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Gut, SL(n,K) ist ja ne Gruppe, deswegen kann man auch die Ordnung (also Kardinalität) angeben. Jedes Element ist da ja ne nxn-Matrix. Allerdings dürfen wir die nicht beliebig ausfüllen. Die erste Spalte ist ein (nahezu beliebiger q-dimensionaler) Vektor, nur der 0-Vektor ist ausgeschlossen. In der nächsten Spalte darfste alles was der erste Vektor aufspannt nicht mehr benutzen. usw.
Leider wird das mit dem normieren der Determinante auf 1 am Schluß etwas schwierig, weil Du dafür eventuell Elemente brauchst, die Dein Körper nicht enthält. Daher funktioniert vermutlich dann nicht jede Variante.
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Du meinst ich brauche n verschiedene linear unabhängige Spaltenvektoren, die die Eigenschaften haben, dass deren Matrix:
i) invertierbar (also Vollrang hat)
ii) det A = 1 ist ?