Riemann-Integral

Dola

Hallo zusammen,

wir behandeln gerade das Riemann-Integral.
ich muss zeigen, ob die Funktion f: [0,1] -> R

f(x) = 2 - x, für x e M und f(x) = 1 , für x e R\M

mit M = { 1/m | m e N}
riemann-integrierbar ist.

Dazu muss ich ja zeigen, ob die Ober- und die Untersumme gleich sind für die optimalste Verfeinerung.
Also ab Σ m_k(f)Δx_k = Σ M_k(f)Δx_k
mit m_k(f) = inf f(x) ; x e I_k
und M_k(f) = sup f(x) ; x e I_k

in diesem Beispiel ist doch
m_k(f) = 1 und M_k(f) = 2-x für x e M

d.h. wir haben eine hüpfende Funktion vorliegen -> unstetig.

die Werte eingesetzt ergibt:

U(f) = Σ1*Δx_k = b-a = 1
O(f) = Σ(2-x)Δx_k = 2-x

diese zwei Gleichungen stimmen nur an der Stelle x=1 überein und sind somit nicht riemann-integrierbar.

Ist das soweit richtig, oder habe ich irgendetwas falsch verstanden?

Wäre echt klasse, wenn ihr mir helfen könnt.

Liebe Grüße
Dola

CStoll

Du hast in deiner Rechnung nicht mit berücksichtigt, daß nicht jedes Intervall der Unterteilung einen Wert aus M enthält - und je kleiner die Intervalle werden, umso mehr davon betrifft das.

Beispiel (n=5, Grenzen 0..1):

k  0        1          2          3          4
K[t]k[/t] [0,0.2[  [0.2,0.4[  [0.4,0.6[  [0.6,0.8[  [0.8,1[
m[t]k[/t] 1        1          1          1          1
M[t]k[/t] 2-[e]epsilon[/e]      1.8        1.5        1          1

Dola

ja, vielen Dank. Das verstehe ich auch, aber was sagt mir das nun zur Riemann-Integrierbarkeit aus?

Theoretisch kann ich das Intervall in noch so kleine Abschnitte (zum Beispiel mit x = 1/m als Schnittstellen) zerlegen, sodass ich jeweils Teilintervalle erhalte, in denen gilt f(x) = 1. Diese sind dann natürlich riemann-integrierbar, aber was ist mit den restlichen Punkten, die nicht auf der Geraden y = 1 liegen? kann ich die einfach unter den Tisch fallen lassen?

Aber in der Gegend von 0 werden die Teilintervalle immer kleiner, sodass sich die Funktion im Prinzip doch dann in dieser Gegend wie die Dirichlet-Funktion verhält, die nicht riemann-interierbar ist.

Wie muss ich mir das alles vorstellen?

CStoll

Letztendlich hast du eine abzählbare Menge (wenn du als Untergrenze einen echt positiven Wert nimmst, sogar eine endliche Menge) an Intervallen, die ein Element aus M enthalten. Und da die Breite dieser Intervalle immer kleiner wird, je größer du die Gesamtzahl wählst, fallen sie letztendlich unter den Tisch.

Dola

Vielen Dank für eure Hilfe. Durfte die Aufgabe sogar an der Tafel vorrechnen.

Liebe Grüße
Dola