numerische bestimmung von eigenwerten

hi,

wenn ich einen linearen operator L: f(x) |-> Lf(x) habe, und davon die eigenwerte numerisch bestimmen will; wie mache ich das? kann ich die funktion mit einem vektor aus dem R^n (für großes n) identifizieren, und dann mit einem verfahren für matritzeneigenwerte draufhauen?

Taurin

Ich geb dir mal ein paar Stichworte:

Bestimmung eines einzelnen Eigenwertes
Potenzenmethode , Inverse Iteration, Rayleigh-Quotient-Iteration

Bestimmung aller Eigenwerte (quasi das Standard-Verfahren)
QR-Verfahren

Diese Verfahren (und noch einige mehr) werden z.b. hier ausführlich erklärt: http://www.tuhh.de/mat/LEHRE/material/grnummath.pdf

Falls n sehr groß ist (ab 10^4 und aufwärts), aber spärlich besetzt, eignen
sich iterative Projektionsverfahren sehr gut. Die werden in dem Skript aber
nicht behandelt.

Ganz sicher bin ich mir nicht, ob ich deine Frage richtig verstanden hab, aber
meintest du sowas?

edit: Ah, jetzt kapier was du willst. Du hast den lin. Op. nicht als Matrix gegeben. Naja, die ganzen Verfahren oben dienen alle dem bestimmen von EW von Matritzen. Damit du die Verfahren anwenden kannst, musst du deinen Op. also darstellen als Funktion von R^n -> R^n oder von C^n -> C^n. Das müsste grundsätzlich gehen, wenn deine Funktion einen endl. Dimensionalen Vektorraum in sich selbst abbildet. Der ist dann nämlich isomorph zum R^n und du hast gewonnen.

hi,

Taurin schrieb:

edit: Ah, jetzt kapier was du willst. Du hast den lin. Op. nicht als Matrix gegeben. Naja, die ganzen Verfahren oben dienen alle dem bestimmen von EW von Matritzen. Damit du die Verfahren anwenden kannst, musst du deinen Op. also darstellen als Funktion von R^n -> R^n oder von C^n -> C^n. Das müsste grundsätzlich gehen, wenn deine Funktion einen endl. Dimensionalen Vektorraum in sich selbst abbildet. Der ist dann nämlich isomorph zum R^n und du hast gewonnen.

wie man genau die eigenwerte einer matrix berechnet, ist mir nicht so wichtig. die funktionen, auf denen der operator wirkt, sind auch R -> R.
ich sehe aber trotzdem nicht, wie ich L als matrix ausdrücke, außer durch diskretisierung von f an n stützstellen. denn Abb( R,R ) ist ja nicht endlichdimensional. höchstens abzählbar, wenn ich nur "schöne" funktionen zulasse.

(nochmal definition: L: Abb(R,R) -> Abb(R,R), linear)

meine diskretisierung würde dann so aussehen:
L : Abb( {1,2,...,n}, R ) -> Abb( {1,2,...,n}, R ) linear.

Jester

Jo, das kannste machen. Und hoffen, dass die Diskretisierung halt gut genug passt. Wenn Du mehr über den operator weißt kannste aber vielleicht auch geschickter vorgehen.

Taurin

lasfdj löaskf djlaskfd as schrieb:

...wie man genau die eigenwerte einer matrix berechnet, ist mir nicht so wichtig...

Damit schlag ich mich gerade rum. Deswegen hab ich beim ersten Überfliegen deines Posts natürlich erstmal genau das verstanden... man liest nur das, was man lesen will