Affine Abbildung von Bernstein-Polynomen
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Hallo !
Ich möchte Bernstein-Polynome im Intervall [a,b] auf dem Intervall [0,1] abbilden.
Dabei ist x Element von [a,b] und t Element von [0,1]Dachte mir, die Intervalle als ein einfache Verhältnisse von Strecken anzusehen und
habe als Ergebnis t = x/(b-a) rausbekommen.Auf einer Webseite habe ich allerdings als Ergebnis t = ( x - a ) / ( b - a )
gefunden.Meine Frage ist jetzt, wie komme ich zu dem zusätzlichen -a im Zähler ?
Gruß,
p.
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Weil du sonst nicht im Intervall [0,1] landest
Prinzipiell ist es ja so, dass du x = a auf t = 0 und x = b auf t = 1 abbilden möchtest. Um das zu erreichen, kannst du dir zunächst vorstellen das Intervall zu "verschieben", so dass das Ursprungsinterval in 0 beginnt, indem du einfach a von den Werten abziehst. Das Intervall ist jetzt von [0,b-a]. Jetzt musst du es nur noch normieren mit (b-a) und erhälst insgesamt die Vorschrift t = (x-a) / (b-a).
Bei t = x / (b-a) bleiben die Werte nicht in [0,1], sondern in [a/(b-a), b/(b-a)] - hier ist insbesondere b/(b-a) > 1 (wenn a > 0) und a / (b-a) > 0 (wenn a > 0).
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Ich hatte die Verschiebung des Intervalls nicht berücksichtigt. Meine Version würde nur für ein Intervall funktionieren, in dem a im Nullpunkt angebunden, also a = 0 ist.
Das -a im Zähler berücksichtigt noch eine eventuelle Verschiebung des Intervalls [a,b] in positive Richtung.
