4. Spiegelmatrix invertieren

Spiegelmatrix invertieren

  • V

    hallo ihr.

    ich habe folgende matrix:

    a b c
    b d e
    c e f

    diese will ich invertieren. gibt es da besondere, vereinfachende regeln?
    danke euch.
    V.

    0
  • W

    Mhh also ich hab gelernt das so gelernt, dass man rechts davon eine gleichgroße Einheitsmatrix schreibt, und dann das ganze wie ein LGS auflöst, so das danach auf der linken seite eine einheitsmatrix steht, auf der rechten seite ist dann die invertierte Matrix.

    Es ist auch bei weitem nicht jede Matrix invertierbar, ich glaub sogar nur ganz wenige.

    edit:

    Bsp:

    1 2 3
    4 5 6
    7 8 10

    wird invertiert

    1 2 3 | 1 0 0 * (-4)
    4 5 6 | 0 1 0 <-
    7 8 10 | 0 0 1

    1 2 3 | 1 0 0 *(-7)
    0 -3 -6 | -4 1 0
    7 8 10 | 0 0 1 <-

    1 2 3 | 1 0 0 <-
    0 -3 -6 | -4 1 0 * 2/3
    0 -6 -11| -7 0 1

    1 0 -1 | -5/3 2/3 0
    0 -3 -6 | -4 1 0 * (-2)
    0 -6 -11| -7 0 1 <-

    1 0 -1 | -5/3 2/3 0 <-
    0 -3 -6 | -4 1 0
    0 0 1 | 1 -2 1 *1

    1 0 0 | -2/3 -4/3 1
    0 -3 -6 | -4 1 0 <-
    0 0 1 | 1 -2 1 * 6

    1 0 0 | -2/3 -4/3 1
    0 -3 0 | 2 -11 6 / (-3)
    0 0 1 | 1 -2 1

    1 0 0 | -2/3 -4/3 1
    0 1 0 | -2/3 11/3 -2
    0 0 1 | 1 -2 1

    fertig ... hab das Ergebnis mit meinem cas rechner geprüft, es stimmt.

    0
  • V

    ich dachte, bei SPIEGELMATRIZEN gibts ne einfachere lösung???

    0
  • W

    Es gibt einige Klassen von Matrizen, die auf Grund ihrer Struktur besonders einfach zu invertieren sind. Dazu zählen die Diagonalmatrizen und die Dreiecksmatrizen.

    zitat wikipedia

    http://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix

    mehr weis ich auch nicht, sorry bin erst in der 12. Klasse

    0
  • D

    Nunja, symmetrische Matrizen sind schon mal diagonalisierbar, also existiert eine Matrix A mit A-1=AT und A^T M A = diag(lambda_i) = D, die wirklich billig zu invertieren ist.

    Wenn man D^-1 wissen will, dann stellt man fest, daß gilt: D^-1 = A^T M^-1 A, also M^-1 = A D^-1 A^T. Für eine 3x3-Matrix ist das aber recht umständlich, weil man erst mal eine Eigenwertzerlegung durchführen muß, um die Matrix A erst mal zu bestimmen ... Aber was einfacheres fällt mir da jetzt auch nicht ein.

    0
  • B

    meinst du mit spiegelmatrix eine rotationsmatrix? http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsmatrix

    da brauchst du einfach zu transponieren
    also A Rotationsmatrix => A^(-1) = A^T

    0
  • V

    ich meine mit spiegelmatrix eine matrix der struktur

    a b c
    b d e
    c e f

    0
  • B

    oh, sry ich hab deinen beitrag nicht gründlich gelesen 😉
    ich kenne das unter dem begriff "symmetrische matrix"
    dann weiß ich auch nicht. das inverse einer symmetrischen matrix ist auf jedenfall wieder symmetrisch, aber das hilft ja nicht wirklich 😛

    hast du denn immer 3x3 matrizen? dann kannst du es doch einfach fest verdrahten.

    0
  • ?

    http://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte

    Für den Fall 3x3 stehts da sogar explizit da. Da deine Matrix symmetrisch ist, kannst du sogar noch einiges selbst vereinfachen.

    Normalerweise ist es aber einfacher, für konkrete Zahlen das so zu machen wie walljumper. So einen Formalsalat kann ich mir jedenfalls nicht merken 🙂

    0
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