4. Gleichung x^2=2 lösen

Gleichung x^2=2 lösen

  • M

    Hallo,

    Gut, das Problem ist dann doch nicht so einfach zu lösen. Zumindest für mich.

    Sei Körper K definiert durch
    K:={(a,b)∈R2:a,b∈Q}K := \{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 : a, b \in \mathbb{Q} \}
    Mit folgenden Addition & Multiplikation:
    (a,b)+(a′,b′):=(a+a′,b+b′)(a,b)+(a',b'):=(a+a',b+b')
    (a,b)⋅(a′,b′):=(a⋅a′+2⋅b⋅b′,a⋅b′+b⋅a′)(a,b)\cdot(a',b'):=(a \cdot a'+2 \cdot b \cdot b',a \cdot b'+b \cdot a')
    Mann muss jetzt zeigen, dass x^2 = 2 genau 2 Lösungen hat. (für x element K)

    Egal wie ich es drehe und wende, aber x wird bei mir nicht zu Element von IR und 2 nicht zu einem Element von IR^2.

    Das ist keine Übungsaufgabe, sondern aus dem Buch "Übungsbuch Analysis I" von Forster. Seite 7.

    Es ist auch keine Lösung angegeben.

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  • B

    matimatiker schrieb:

    Egal wie ich es drehe und wende, aber x wird bei mir nicht zu Element von IR und 2 nicht zu einem Element von IR^2.

    x soll nur Element K sein. Und jeder Körper hat ein Einselement, wie wärs mit 2 = 1+1?

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  • M

    Danke, ich werde wohl noch ne weile brauchen, bis ich auf solche sachen draufkomme.

    Wenn ich richtig gerechnet habe kommt als Lösung (0,-1) und (0,1) in frage.
    D.h. Das Einselement ist (1,0), denn (a,b)(1,0) = (a*1+2*b*0, a*0 + b1)=(a,b)
    2 = (2,0) = (1,0)+(1,0)
    und jetzt:
    (2,0)=(a,b)*(a,b) = (aa +2bb, ab + ba)

    d.h. 0 = ab+ab = 2ab => a= 0 oder b = 0

    für b=0:
    ist a*a = 2 => a ist nicht rational => (a^0.5, 0) kein Element K
    für a=0:
    ist 2*b*b =2 => b = 1 oder b = -1 => Lösungen (0, 1) und (0,-1)

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  • S

    Ja, sieht gut aus.

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