Kettenregel allgemein, Koord. transformation

Hallo!
ich habe ein funktion u(x,y) also karthesische koordinaten, nun möchte ich den nabla operator und den laplace operator in polarkoord berechnen, also hab ich eine funktion U(r(x,y) phi(x,y))

den nabla operator zu berechnen ist ja nicht schwer:

$d\_x f = d\_r f * d\_x r + d\_\phi f * d_x \phi$

aber ich komm einfach nicht drauf, wie ich bei der 2. ableitung machen muss:

$d\_x^2 f = d\_x(d\_r f * d\_x r + d_\phi f * d_x \phi)$

$d\_x^2 f = d\_r^2 f * d\_x r * d\_x r + d\_r f * d\_x^2 r + d_\phi^2 f * d\_x \phi * d\_x \phi + d_\phi f * d_x^2 \phi)$

so kann das ja nicht stimmen, weil ich eigentlich noch therme haben müsst mit
$d\_r d\_\phi d$

also, wie funktioniert das mit der 2. ableitung richtig!?
danke.
lg stefan

Ich meine natürlich therme der art

$d\_r d\_\phi f = d_{\phi r}^2$

und

$d_\phi d\_r f = d\_{r \phi}^2$