Differenzieller Raumwinkel?

Hallo,

ich bin gerade zum 1. Mal auf den Begriff "differentieller Raumwinkel" gestoßen. Nur leider finde ich verdammt wenig dazu (gerade mal 90 Hits bei Google, z.B. http://theorie.informatik.uni-ulm.de/Lehre/WS9798/Computergrafik/Boehm/Seite4.html ) und versteh es noch nicht so recht. Ist das so eine Art Bündel von Winkel? Und wie kommt der auf der Seite da auf den Flächeninhalt für dw? Kann mir das wer erklären oder hat ein einfaches Dokument, das das erklärt?

Danke

Bashar

Dass du so wenig Treffer zu dem Begriff bekommst liegt daran, dass das eine direkte Zusammensetzung der Begriffe differentiell und Raumwinkel ist. Wenn du die beiden Begriffe unabhängig kennst, weißt du auch, was ein differentieller Raumwinkel ist.

raumwinkel unwissender schrieb:

...Kann mir das wer erklären oder hat ein einfaches Dokument, das das erklärt?
Danke

Hallo !
Das ist doch alles auf der Seite erklärt, schau mal:

Ein differentieller Raumwinkel dw stellt ein kleines Rechteck auf der Einheitshemisphäre dar:

Dazu ist es auch noch als kleines Rechteck grafisch dargestellt.

Wie es zu der Formel kommt ist ebenfalls beschrieben:

Zur Berechnung von dw wurde die Bogenlängeformel für den Kreis benutzt.

Die Bogenlängeformel wurde also in die Formel für das kleine Rechteck eingesetzt.

Die Herleitung versteh ich dennoch nicht. Da steht dTheta = dl / r, also is dTheta nen Winkel im Bogenmaß. Aber welcher Winkel soll das sein und wie komm ich dann damit zur gesamten Fläche des Raumwinkels?

oh noch ne frage: da steht "rechteck". das is aber nur eine vereinfachung - in wirklichkeit isses ja garkein rechteck, oder? (Wegen der krümmung der kugeloberfläche)

Ja, das ist so superduperminniwinzigklitzeklein, das man es als ein Rechteck annehmen kann.

hehe, ok.
Also so wie ich das sehe ist dieses dTheta der Winkel (im Bogenmaß) entlang nach "oben" auf der kleinen Fläche. Aber die Länge l hab ich doch garnicht?
Und selbst wenn, wie komm ich dann mittels dTheta auf die echte Fläche des "Rechtecks"?

BTW: Ich hab grad auf Wiki gelesen, dass der Raumwinkel definiert is als:
Fläche / r². Was ist denn der Unterschied zwischen Raumwinkel und differentiellem Raumwinkel?

Daniel E.

immernoch unwissender schrieb:

Also so wie ich das sehe ist dieses dTheta der Winkel (im Bogenmaß) entlang nach "oben" auf der kleinen Fläche. Aber die Länge l hab ich doch garnicht?

Da steht auch nicht die Länge l sondern dl, also eine infinitisimal kurze Länge. Da stehen doch überall Differentiale, von daher machen Fragen nach der Größe des differentiell kleinen Rechtecks, oder dem Unterschied zwischen Raumwinkel und differentiellem Raumwinkel keinen besonderen Sinn. Vermutlich will irgendjemand dann über einen Winkelbereich die Raumwinkel aufintegrieren, dann kommen auch wieder vernünftige Winkel und Flächen vor. Hattest Du denn schon überhaupt Infinitisimalrechnung?

Daniel E. schrieb:

Hattest Du denn schon überhaupt Infinitisimalrechnung?

Nein
Das is aber nicht dasselbe wie diese mathematische Schreibweise für ne Ableitung, also zB die Ableitung von f nach x: df/dx oder?

< Gewäsch Detected >

(Fast) Alles nur Gewäsch, die Fragen des Threadstellers wurden in keinster Weise zufriedenstellend beantwortet.
Die Frage, wie man zu der Formel für dw kommt, ist immer noch offen.

Vielleicht gibt es hier ja jemanden, der es weiß und in der Lage ist, eine nachvollziehbare Rechnung anzugeben.

at 15:10:11 18.06.2007

hallo,

@Gewäsch Detector: Ja, ist mir auch schon aufgefallen. Mir immer nur zu sagen wo ich falsch liege bringt mir net viel. Ich mein wenn ihr es wisst, könnt ihr es doch schnell mal erklären.

proggingmania

Hi !

Sagen wir mal, die Z-Achse ist die Achse, die in dem Bild nach oben zeigt.
Die X-Achse soll wie üblich nach rechts zeigen.

Die infinitesimal kleine Fläche setzt sich nun zusammen aus:

Bogensegment auf der Kugeloberfläche: dl_1 = r*d(Theta)
Projiziertes Bogensegment auf der XY-Ebene: dl_2 = r*sin(Theta)*d(Phi)

Der Flächeninhalt der klitzekleinen Oberfläche auf der Kugel ist dann:
dA = dl_1 * dl_2 = r*d(Theta) * r*sin(Theta)*d(Phi)

Das macht dann Summa Summarum sortiert:
dA = (r^2)*sin(Theta)*d(Theta)*d(Phi)

Da es sich um eine Einheitshemisphäre handelt, also r = 1 ist, kann man auch
den Term ( r^2 ) weglassen und erhält:
dA = sin(Theta)*d(Theta)*d(Phi)

Das wars auch schon.
Gruß, p.

@proggingmania: Danke! Das Posting hat mir schon sehr weitergeholfen. Nur noch eine Frage: Du sagst sin(theta)*dPhi ist die Strecke (auf der Einheitskugel) projiziert auf die xy-Ebene. Wie genau leitest du das her? Sprich wie projizierst du das auf die xy-Ebene?

Danke

Kuck dir mal das Bild hier an:
http://freenet-homepage.de/proggingmania/Kugel/dA.jpg

Ich denke mal, jetzt kannst du dich Raumwinkelwissender nennen.
Oder ?

Gruß,

hi,

oh man, ich steh immernoch total aufm schlauch

Also die Höhe in dem Rechteck is mir klar. Es gilt ja:
Bogenmaß = l / r, mit interessiert die Länge l, also ergibt sich für die
Länge von dA: l = Bogenmaß * r = dTheta * r

Aber das da unten versteh ich nicht.
Ich versteh noch, dass die Breite von dA bei kleiner werdendem Theta kleiner wird (bei Theta=0° is die Länge 0), aber ich versteh nicht, wieso bei dem
Segment unten die Kante r*sin(Theta) und die gesuchte
Länge r*sin(Theta)*d(Phi) is

Kannst das vllt doch noch mal erklären? sry

proggingmania

Mit der Breite des Rechtecks funktioniert das im Prinzip so wie mit der Höhe auch.
Bei der Höhe geht der ganze Radius r mit ein.
Bei der Breite hast du es jedoch nur mit r*sin(Theta) zu tun, weil die Projektion des Radius auf die XY-Ebene betrachtet wird.

LOL, jetzt is der Groschen gefallen.
Oh man, manchmal hat man echt Tomaten auf den Augen.

Nochmal vielen Dank proggingmania!

proggingmania