4. Lokal eindeutige Umkehrfunktion

Lokal eindeutige Umkehrfunktion

  • J

    Hallo.

    Sei f:M⊆V_1→V_1f:M\subseteq V\_1\to V\_1 eine mindestens einmal stetig differenzierbare Funktion (V1V_1 ist ein Banachraum).

    Dann existiert genau dann in einer Umgebung um x\mathbf{x} eine lokal eindeutige Umkehrfunktion, wenn dfdx\frac{df}{d\mathbf{x}} an x\mathbf{x} stetig ist und bijektiv.

    Nun zum Problem:

    Wenn f−1f^{-1} die Umkehrungsfunktion bezeichnet, kann ich dann df−1dx\frac{df^{-1}}{d\mathbf{x}} berechnen, ohne f−1f^{-1} explizit ausrechnen zu müssen?

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  • J

    Klar, verwende f o f^(-1) = id, dann (beide Seiten) ableiten (Kettenregel) und Du bist so gut wie fertig. 🙂

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  • J

    Sorry, aber ich glaube ich stehe gerade voll auf der Leitung.

    Heist das, dass ich df−1df^{-1} bekomme, indem ich die partiellen Ableitungen folgendermasen bilde?
    f∘f−1=idV⇒∂f∂x_i∂f−1∂x_i=1⇒∂f−1∂x_i=(∂f∂x_i)−1f\circ f^{-1}=id_\mathbf{V} \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x\_i}\frac{\partial f^{-1}}{\partial x\_i}=1 \Rightarrow \frac{\partial f^{-1}}{\partial x\_i}=\left(\frac{\partial f}{\partial x\_i}\right)^{-1}

    Oder überseh ich da etwas?

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  • J

    Jop, Du übersiehst grad was. Die Ableitung von f(g(x)) ist nicht f'(x)*g'(x).
    Im reellen sieht das ja so aus: (f(g(x))' = f'(g(x))*g'(x).
    f o f^-1 (x) = x.
    Ableiten: f'(f-1(x))*f-1'(x) = 1
    Also f^-1 '(x) = 1/f'(f^-1(x)). Ohne Gewähr 😉

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  • J

    Ja, aber dann muss ich doch die inverse explizit berechnen um auf die ableitungen zu kommen.

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  • J

    Ah okay, entschuldige. Da hab ich ungenau gelesen. Vielleicht hilft Dir das hier: http://www.ualberta.ca/dept/math/gauss/fcm/calculus/multvrbl/basic/ImplctFnctns/implct_fnctn_thrm.htm

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  • J

    Danke für den link 👍
    Einfach die Funktionalmatrix invertieren ... ist ja praktisch

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