Komplexe Zahlen quadrieren

Hallo!
ich bin mir bei folgender aufgabe nicht ganz sicher. es geht um schwebung:
ich habe zwei wellen mit leicht unterschiedlicher kreisfrequenz w1 und w2 und gegebenen intensitäten I1 und I2 und ich soll die Intensität I(t) angeben, die ein photodetektor "sieht" der nur die lansame oszillation Δw = (w2 - w2)/2 wahrnimmt.

Ich habe also zwei Efelder:
E_1 = E1 * exp (iw1 t)
E_2 = E2 * exp (iw2 t)

die abhängigkeit von exp(-ikx) vernachlässige ich hier einmal.
wenn ich die zwei Felder addiere erhalte ich

E_ges = E1 * exp (iw1 t) + E2 * exp (iw2 t)

bzw. für w1 = w - Δw und w2 = w + Δw

E_ges = exp(iwt) * (E1 * exp(-iΔw t) + E2 * exp(iΔw t)

Die mittlere Intensität (schnelle Oszillation sieht der detektor ja nicht, deswegen kein exp(iwt)) berechnet sich wiederum durch
I(t) = 1/2 * e_0 * c * (E_ges)^2
wobei ich die amplituden der Felder ja mit E1 = sqrt(2*I1/(c*e_0) berechnen kann, bzw. analog für E2 mit der gegebenen Intensität I2.

Unser Proseminar leiter hat nun gesagt, dass man bei der Intensität jetzt nicht E_ges quadrieren darf, sondern |E_ges| aber ich verstehe nicht wieso und es kommt definitiv ein anderes Ergebnis raus, wenn man es so macht.
Ich weiß also nicht warum man nicht einfach
(E1 * exp (iw1 t) + E2 * exp (iw2 t))^2 nach dem Binomischen Lehrsatz ausmultiplizieren darf, sondern mit (E1 * exp(-iΔw t) + E2 * exp(iΔw t)(E1 * exp(iΔw t) + E2 * exp(-iΔw t) rechnen muss (also mit dem komplex kunjungierten multiplieren muss, was ja den |E_ges|^2 liefert.
hat das eventuell mit damit zutun, dass die Intensität gemittelt ist und könnte ich "normal" rechnen wenn ich keine gemittelte, sondern die echte intensität berechnen wollte; oder ist das generell eine rechenregel für das quadrieren von komplexen zahlen!?!

danke, lg, stefan

Mr.Fister

Du willst ja die Amplitude, also den maximalen Betrag von einer komplexen Zahl (entspricht der Länge des Vektors im Modell der Gaußschen Zahlenebene). Wenn du nur quadrierst, kommt ja im Allgemeinen wieder was komplexes raus. Und für den Betrag einer komplexen Zahl z gilt nunmal $|z|^2 = z\cdot z^*$

In der Polarschreibweise ist der Betrag gerade das, was vor der E-Funktion steht.

hm, aber wir haben als lösung dann

I(t) = I1 + I2 + sqrt(I1*I2)*cos((w2-w1)*t))^2 raus bekommen. und das ist ja im prinzip auch nicht der maximale wert oder? hängt ja immer noch von der zeit ab und ich müsste eigentlich nochmal über die zeit mitteln!?

lg, stefan

*push* also warum genau muss ich jetzt den betrag von E quadieren?

Turing

Das Quadrat einer komplexen Zahl lautet:
$(a + jb)^2 = a^2 + 2 (a \cdot jb) + (jb)^2 = a^2 - b^2 + j 2(a \cdot b)$

Addiere doch einfach mal die beiden komplexen Zahlen und male Dir den Zeiger in der komplexen Ebene auf.

Dann bekommst Du sowas wie
$z = r e^{j\phi}$

Rechnest Du das Quadrat der komplexen Zahl aus, kommst Du auf:

$z^2 = (r e^{j\phi})^2 = r^2 e^{j2\phi}$

Was aber (scheinbar) gesucht ist

$|z|^2 = z \cdot z^* = r e^{j\phi} \cdot r e^{-j\phi} = r^2$

Wahrscheinlich liegt es einfach nur an Schlampigkeit, dass die angegebene und verwendete Formel unterschiedlich sind... Aber was solls, HiWis oder WiMis sind auch nur Menschen.

hm okay, klingt logisch. aber wieso funktioniert das hier nicht (oder verrechne ich mich!?)

cos(wt) = exp(iwt) ( Zumindest der Realteil )

cos^2(wt) = exp(iwt)^2 = exp(2iwt)

Aber Re von exp(2iwt) = cos(2wt) und nicht cos(wt)^2

Wenn ich also Quadriere, muss ich dann immer zuerst den Realteil ausrechnen und kann dann diesen quadrieren!? ich verstehe einfach nicht, wieso ich nicht das erwartete Ergebnis bekomme ...

Turing

$cos(\omega t) = Re(e^{j\omega t}) \neq e^{j\omega t}$

Mach Dir klar, dass die Formulierung "zumindest für den Realteil" ein Widerspruch gegen das Gleichheitszeichen ist.

Es heißt:

$(cos(\omega t))^2 = (Re(e^{j\omega t}))^2 = cos^2(\omega t) \neq Re((e^{j\omega t})^2)$

Nützlich sind auch folgende Formeln:

$cos(\omega t) = \frac{1}{2}(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$
und
$sin(\omega t) = \frac{1}{2j} (e^{j\omega t} - e^{-j\omega t})$

Ich halte die beiden Formeln für so nützlich, dass es, neben der Eulerschen Relation, sich lohnt sie auswendig zu wissen. Spiel ein bisschen damit rum, dann verstehst Du bestimmt auch die restliche Rechnerei, z.B.

$cos(\omega t) + j sin(\omega t) = \frac{1}{2}(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}) + j \cdot \frac{1}{2j} (e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}) = e^{j\omega t}$

Daniel E.

Turing, ich glaub, dir ist die Frage etwas unklar, es ist nämlich eine physikalische und keine mathematische. Da steht ein elektrisches Feld und elektrische Felder sind ihrem Wesen nach natürlich an jedem Punkt reell. Die komplexe Schreibweise benutzt man mit dem Hintergedanken, daß der "physikalische" Wirkanteil der Realteil dieser Zahl ist (der Imaginärteil tut's prinzipiell auch). Das schreibt man aber so nicht wirklich hin; so etwas macht man öfter, zB die Herleitung der komplexen Wechselstromrechnung ist genau das.

*Wäre* die Intensität wirklich proportional zu (E-Feld)^2, dann wäre wirklich die erste Formel falsch (wegen der Realteil vs. nicht Realteilinterpretation), aber Intensität ist IIRC irgendwie definiert über den Poynting-Vektor S, mit S = E x H, mit x als Vektorprodukt. Für eine elektromagnetische Welle dürften dann eben E und H genau so stehen, daß sich (nach eventueller Mittelung über eine Periode) die Intensitätsformel so ergibt, wie vom Seminarleiter angegeben. Das ist jetzt nur so dahergeschwallt, nachrechnen mag ich das nicht.

Intensität ist IMHO nicht über den Betrag des Poyntingvektors gegeben, das ergibt sich meiner Meinung nach nur. In der Vorlesung haben wir zumindest für dem Poyntingvektor die Intensität definiert durch:

Intensität = Leistung / Fläche

bzw.

Intensität = Energie / (Zeit * Fläche)

I = E /(t*c)

mit der Energiedichte w_em = E/V ;weil man "weiß" dass Licht sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet kann das Volumen V durch V = A * c*t beschrieben werden und eingesetzt für die Intensität ergibt sich

I = w_em * c

Die Energiedichte ist wiederum w_em = epsilon_0 * E^2

und es ergibt sich

I = c * epsilon_0 * E^2

bzw, wenn man das Efeld über eine Periode mittelt

I = 1/2 * c * epsilon_0 * E^2
(wobei E jetzt die Amplitude es E Feldes ist)

Zumindest hab ich die Herleitung so verstanden und deswegen kenn ich mich hier nicht wirklich aus ...

Danke Turing, das mit dem Realteil habe ich jetzt besser verstanden.
Aber gibt es eine "Faustregel" wann man zum Rechnen die Eulerformeln nimmt und wann die Eulerschen Relationen, bzw. wann hat es Vorteile

cos(wt) = 1/2 * (exp(iwt) + exp(-iwt))

zu schreiben, und wann ist es besser

cos(wt) = exp(iwt) zu schreiben. Bis jetzt habe ich die Eulerschen Relationen eigentlich nie wirklich als rechen erleichterung empfunden. viel mehr schreibarbeit und potenzieren oder so was ist auch nicht leichter dadurch!?

*push* !?

Turing

Aber gibt es eine "Faustregel" wann man zum Rechnen die Eulerformeln nimmt und wann die Eulerschen Relationen.

Nur damit keine Verwirrung entsteht...

Ich kenne

$z = x + jy$

unter dem Namen "Darstellung mit Real- und Imaginärteil" und

$z = r \cdot e^{j\phi}$

als "Darstellung in Betrag und Phase" oder meinetwegen Polardarstellung.

Lediglich

$z = cos(\phi) + j sin(\phi) = e^{j\phi}$

heißt Eulersche Relation.

Wann, welche Variante zu bevorzugen ist, kann ich leider nicht verallgemeinern. Häufig hilft die Umrechnung weiter, wenn man mit der einen Variante nicht weiterkommt.

Persönlich bin ich eher ein Freund der Polardarstellung. Das kann aber auch daran liegen, dass ich in der Signalverareitung zu Hause bin.

Übrigens bringt die Polardarstellung gerade was das Potenzieren angeht unglaubliche Vorteile:

Rechnet z.B. mal

$(cos(\frac{2 \pi t}{6})+j sin(\frac{2 \pi t}{6}))^6$

und

$(e^{j 2 \pi t / 6})^6$

Und noch ein letztes Mal:

$cos(wt) \neq exp(iwt)$