Probleme mit dem Sinus

[Ishildur]

Hallo zusammen

Sinus ist doch das Verhältnis der Gegenkatete zur Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck?
Also ist doch 1/sinus das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkatete in einem rechtwinkligen Dreieck?

Wenn ich nun in meinem Voyage 200 folgendes eintippe:

1/sin(2) = csc(2) => true
Aber:
csc(2) = sin^-1(2) => Domain Error

Wenn ich nur sin^-1(2) eintippe, dann kommt ebenfalls Domain Error

Ist denn sin^-1(2) nicht einfach 1/sin(2) ?

Ich dachte, dass a^-1 = 1/a ??

Ich verstehe gar nichts mehr!!

[Gast]

$\sin^{-1}$ bezeichnet die Umkehrfunktion des $\sin$ auch $\arcsin$ geschrieben.

[Bashar]

Das ist leider eine inkonsistente Notation, die sich irgendwie gehalten hat. $f^n(x)$ bedeutet normalerweise n-fache Hintereinanderausführung von f, für negative n dann die n-fache Ausführung der Umkehrfunktion, nur bei einigen "Standardfunktionen" versteht man darunter oft $(f(x))^n$. Man muss im Einzelfall halt immer wissen, ob gerade das eine oder das andere gemeint ist.

[Gast]

Hallo zusammen,

wenn ich zusammenfassen darf...

Bei numerischen Variablen:

$a^{n}~=~\frac{1}{a^{-n}}~~;~n\le{}0$

Bei Funktionen gilt z.B.:

$f^{3}(x)~=~f(~f(~f(x)~)~)$
$f^{-1}(x)~\ne{}~\frac{1}{f(x)}$
$f^{-3}(x)~=~f^{-1}(~f^{-1}(~f^{-1}(x)~)~)$

Ausnahme: Häufig findet man bei den "Standardfunktionen" (sin, cos u.Ä.) folgende (inkonsistente) Notation:

$f^{n}(x)~=~f(x)^{n}$
$\sin{}^{2}(x)~=~(\sin{x})^{2}$

Ist das soweit korrekt?

Grüße Martin

[Jover]

Ja, so kann man das im allgemeinen (wenn nichts anderes definiert ist) sagen.

[Mr.Fister]

lucky_tux schrieb:

Hallo zusammen,

wenn ich zusammenfassen darf...

Bei numerischen Variablen:

$a^{n}~=~\frac{1}{a^{-n}}~~;~n\le{}0$

Das würde ich anders schreiben:
$a^{-n}~=~\frac{1}{a^{n}}~~;~\forall n\in\mathbb{R}$

Bei Funktionen gilt z.B.:

$f^{3}(x)~=~f(~f(~f(x)~)~)$
$f^{-1}(x)~\ne{}~\frac{1}{f(x)}$
$f^{-3}(x)~=~f^{-1}(~f^{-1}(~f^{-1}(x)~)~)$

Stimmt, ist aber alles sehr ungebräuchlich.

Ausnahme: Häufig findet man bei den "Standardfunktionen" (sin, cos u.Ä.) folgende (inkonsistente) Notation:

$f^{n}(x)~=~f(x)^{n}$
$\sin{}^{2}(x)~=~(\sin{x})^{2}$

...ist schon gebräuchlicher.
Um die Verwirrung perfekt zu machen gibt es noch die Abkürzung f^{(n)}(x) = \frac{\mbox{d}^nf(x)}{\mbox{d}x^n}
also die n-te Ableitung.

Meistens ergibt sich aber eh alles aus dem Zusammenhang. Zur Not klammert man halt ausführlicher oder schreibt es kurz dazu.

[Gast]

Mr.Fister schrieb:

Bei Funktionen gilt z.B.:

$f^{3}(x)~=~f(~f(~f(x)~)~)$
$f^{-1}(x)~\ne{}~\frac{1}{f(x)}$
$f^{-3}(x)~=~f^{-1}(~f^{-1}(~f^{-1}(x)~)~)$

Stimmt, ist aber alles sehr ungebräuchlich.

Find ich jetzt nicht. Sowas sehe ich eigentlich recht oft. Außerdem gibts noch die Bezeichnung $f^{-1}(y)$ für die Faser von $f$ der Stelle $y$.

[Gast]

Das würde ich anders schreiben:
$a^{-n}~=~\frac{1}{a^{n}}~~;~\forall n\in\mathbb{R}$

Meinst du vielleicht n ist Element aus den natürlichen Zahlen |N oder irre ich mich?

[Mr.Fister]

Nein, das stimmt schon so.